lim x->tak hingga (akar(x^2+x+5)-akar(x^2-2x+3))=

3/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+x+5} - \sqrt{x^2-2x+3})$, kita dapat mengalikan dengan konjugatnya:

$$ \lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+x+5} - \sqrt{x^2-2x+3}) \times \frac{\sqrt{x^2+x+5} + \sqrt{x^2-2x+3}}{\sqrt{x^2+x+5} + \sqrt{x^2-2x+3})} $$ 

$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{(x^2+x+5) - (x^2-2x+3)}{\sqrt{x^2+x+5} + \sqrt{x^2-2x+3})} $$ 

$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2+x+5 - x^2+2x-3}{\sqrt{x^2+x+5} + \sqrt{x^2-2x+3})} $$ 

$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{3x+2}{\sqrt{x^2+x+5} + \sqrt{x^2-2x+3})} $$ 

Sekarang, bagi pembilang dan penyebut dengan $x$ (atau $\sqrt{x^2}$ karena $x \to \infty$):

$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{\frac{3x}{x}+\frac{2}{x}}{\sqrt{\frac{x^2}{x^2}+\frac{x}{x^2}+\frac{5}{x^2}} + \sqrt{\frac{x^2}{x^2}-\frac{2x}{x^2}+\frac{3}{x^2}})} $$ 

$$ = \lim_{x \to \infty} \frac{3+\frac{2}{x}}{\sqrt{1+\frac{1}{x}+\frac{5}{x^2}} + \sqrt{1-\frac{2}{x}+\frac{3}{x^2}})} $$ 

Ketika $x \to \infty$, suku-suku dengan $x$ di penyebut akan mendekati 0:

$$ = \frac{3+0}{\sqrt{1+0+0} + \sqrt{1-0+0}} $$ 

$$ = \frac{3}{\sqrt{1} + \sqrt{1}} $$ 

$$ = \frac{3}{1+1} $$ 

$$ = \frac{3}{2} $$ 

Jadi, nilai dari $\lim_{x \to \infty} (\sqrt{x^2+x+5} - \sqrt{x^2-2x+3})$ adalah $\frac{3}{2}$.