lim _(x -> tak hingga) ((sin (4)/(x)-sin (2)/(x)))/(sin

2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan sifat limit trigonometri dan aljabar.
Limit yang diberikan adalah: lim (x -> tak hingga) [ (sin (4/x) - sin (2/x)) / sin (2/(2x)) ]
Pertama, kita bisa menyederhanakan bagian penyebut: sin(2/(2x)) = sin(1/x).
Jadi, limitnya menjadi: lim (x -> tak hingga) [ (sin (4/x) - sin (2/x)) / sin (1/x) ]
Ketika x mendekati tak hingga, nilai 4/x, 2/x, dan 1/x semuanya mendekati 0. Kita dapat menggunakan pendekatan limit sin(y)/y = 1 ketika y mendekati 0.
Kita bisa memanipulasi ekspresi agar sesuai dengan bentuk ini. Bagi pembilang dan penyebut dengan 1/x:
lim (x -> tak hingga) [ (sin(4/x)/(1/x) - sin(2/x)/(1/x)) / (sin(1/x)/(1/x)) ]
Sekarang, kita bisa menggunakan sifat limit sin(ky)/y = k ketika y mendekati 0. Dalam kasus ini, y adalah 1/x.
Untuk suku pertama di pembilang, sin(4/x)/(1/x), kita bisa menulisnya sebagai 4 * (sin(4/x) / (4/x)). Ketika x -> tak hingga, 4/x -> 0, sehingga limitnya adalah 4 * 1 = 4.
Untuk suku kedua di pembilang, sin(2/x)/(1/x), kita bisa menulisnya sebagai 2 * (sin(2/x) / (2/x)). Namun, ini tidak tepat. Cara yang lebih benar adalah mengalikan dan membagi dengan 2:
(sin(2/x) / (2/x)) * (2/x) / (1/x) = (sin(2/x) / (2/x)) * 2. Limitnya adalah 1 * 2 = 2.
Atau cara yang lebih langsung:
lim (x -> tak hingga) [ (sin(4/x) / (1/x)) - (sin(2/x) / (1/x)) ] / (sin(1/x) / (1/x))
lim (x -> tak hingga) [ 4 * (sin(4/x) / (4/x)) - 2 * (sin(2/x) / (2/x)) ] / (1 * (sin(1/x) / (1/x)))
Gunakan fakta bahwa lim (y->0) sin(y)/y = 1:
[ 4 * 1 - 2 * 1 ] / [ 1 * 1 ]
= (4 - 2) / 1
= 2
Jadi, hasil limitnya adalah 2.