lim x->y (tan x-tan y)/{1-(x/y tan x tan y+1)} sama dengan

-cot y

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to y} \frac{\tan x - \tan y}{1 - \tan x \tan y + 1}$, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital karena ketika kita substitusi langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$.

Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan bentuk $\frac{0}{0}$ atau $\frac{\infty}{\infty}$, maka limit tersebut sama dengan $\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$.

Dalam kasus ini, $f(x) = \tan x - \tan y$ dan $g(x) = 1 - \tan x \tan y + 1 = 2 - \tan x \tan y$.

Turunan dari $f(x)$ terhadap $x$ adalah $f'(x) = \sec^2 x$.

Turunan dari $g(x)$ terhadap $x$ adalah $g'(x) = -(\sec^2 x \tan y)$.

Maka, limitnya menjadi $\lim_{x \to y} \frac{\sec^2 x}{-\sec^2 x \tan y}$.

Kita bisa menyederhanakan $\sec^2 x$ dari pembilang dan penyebut:
$\frac{1}{-\tan y}$.

Karena $\tan y = \frac{\sin y}{\cos y}$, maka $\frac{1}{-\tan y} = -\frac{\cos y}{\sin y} = -\cot y$.

Jadi, $\lim_{x \to y} \frac{\tan x - \tan y}{1 - \tan x \tan y + 1} = -\cot y$.