Limas T.ABCD diketahui: TA = TB = TC = TD = 2 cm AB = BC =

Nilai sin alpha adalah sqrt(6)/3.

Pembahasan

Soal ini berkaitan dengan geometri limas dan trigonometri.
Diketahui limas T.ABCD dengan TA = TB = TC = TD = 2 cm dan AB = BC = CD = DA = 2 cm. Ini berarti limas tersebut memiliki alas persegi dengan panjang sisi 2 cm dan semua rusuk tegaknya sama panjang yaitu 2 cm.

Kita perlu mencari nilai sin alpha, di mana alpha adalah sudut antara bidang TAB dengan bidang alas ABCD.

Untuk mencari sudut antara dua bidang, kita perlu mengambil garis potong kedua bidang tersebut, yaitu garis AB. Kemudian, kita perlu mengambil titik pada garis potong tersebut (misalnya titik A atau B) dan menarik garis tegak lurus terhadap garis potong pada masing-masing bidang.

Pada bidang alas ABCD, karena alasnya persegi, garis yang tegak lurus AB pada titik A adalah AD atau garis yang sejajar AD. Namun, untuk mencari sudut antara bidang TAB dan alas, kita perlu mencari garis di bidang TAB yang tegak lurus AB.

Karena TA = TB = 2 cm dan AB = 2 cm, segitiga TAB adalah segitiga sama sisi. Dalam segitiga sama sisi, setiap sudut adalah 60 derajat. Misalkan M adalah titik tengah AB. Maka TM adalah tinggi segitiga TAB dan TM tegak lurus AB. Panjang TM dapat dihitung dengan teorema Pythagoras pada segitiga TAM (jika kita tahu AM = 1 cm): TM^2 = TA^2 - AM^2 = 2^2 - 1^2 = 4 - 1 = 3. Jadi TM = sqrt(3).

Pada bidang alas ABCD, kita perlu mencari garis yang tegak lurus AB dan berpotongan dengan TM (jika M adalah titik tengah AB). Garis yang tegak lurus AB pada titik tengah M adalah garis yang menghubungkan M dengan titik tengah CD. Namun, ini tidak membentuk sudut yang kita cari.

Mari kita gunakan pendekatan lain. Sudut antara bidang TAB dengan bidang alas adalah sudut antara garis TM (tinggi segitiga TAB) dengan garis pada bidang alas yang melalui M dan tegak lurus AB. Garis pada bidang alas yang tegak lurus AB dan melalui titik tengah M adalah garis yang menghubungkan M dengan titik tengah CD. Sebut saja titik tengah CD sebagai N. Maka MN tegak lurus AB.

Perhatikan segitiga T M N. TM = sqrt(3) (tinggi segitiga TAB).
Untuk mencari MN, kita tahu M adalah titik tengah AB dan N adalah titik tengah CD. Karena ABCD adalah persegi dengan sisi 2 cm, maka MN = sisi persegi = 2 cm.

Namun, alpha adalah sudut antara bidang TAB dengan bidang alas. Ini berarti alpha adalah sudut antara garis normal kedua bidang tersebut. Atau, kita bisa melihatnya sebagai sudut antara dua garis yang tegak lurus garis potong AB, dan kedua garis tersebut berada di bidang masing-masing.

Mari kita definisikan alpha sebagai sudut antara TM (garis tinggi di bidang TAB) dan garis pada bidang alas yang tegak lurus AB. Misalkan P adalah titik pada bidang alas sedemikian sehingga TP tegak lurus AB. Karena TA=TB, segitiga TAB adalah segitiga sama kaki, sehingga garis tinggi dari T ke AB akan jatuh pada titik tengah AB. Sebut titik tengah AB sebagai M. Maka TM tegak lurus AB.

Sekarang, kita perlu garis di bidang alas yang tegak lurus AB dan melalui M. Garis ini adalah garis yang menghubungkan M dengan titik tengah CD. Sebut titik tengah CD sebagai N. Maka MN tegak lurus AB.

Dengan demikian, sudut alpha adalah sudut antara TM dan MN, yaitu sudut T M N.

Dalam segitiga T M N:
TM = sqrt(3) (seperti yang dihitung sebelumnya)
MN = 2 cm (karena ABCD adalah persegi dan M, N adalah titik tengah sisi yang berhadapan).

Untuk mencari sin alpha (sudut T M N), kita perlu panjang TN. Segitiga TND adalah segitiga siku-siku di D jika TD tegak lurus bidang alas, yang tidak diberikan.

Mari kita gunakan definisi sudut antara bidang:
Ambil titik pada garis potong AB, misalnya B. Tarik garis tegak lurus AB di B pada bidang TAB dan bidang ABCD.
Di bidang alas ABCD, garis yang tegak lurus AB di B adalah BC atau garis yang sejajar BC. Namun, kita perlu garis yang tegak lurus AB dan berada di bidang TAB. Ini adalah garis TB.

Ini juga tidak tepat.

Kembali ke definisi sudut antara dua bidang adalah sudut antara dua garis yang tegak lurus pada garis potong kedua bidang tersebut, di mana kedua garis tersebut berada pada bidang yang berbeda.

Karena segitiga TAB adalah sama sisi, maka tinggi TM tegak lurus AB. Panjang TM = sqrt(3).

Pada bidang alas ABCD, kita perlu garis yang tegak lurus AB dan melalui M (titik tengah AB). Garis ini adalah garis MN, di mana N adalah titik tengah CD. Panjang MN = 2 cm.

Jadi alpha adalah sudut T M N.
Dalam segitiga T M N, kita punya TM = sqrt(3) dan MN = 2.
Kita perlu mencari sin(T M N).
Untuk ini, kita perlu panjang TN.
Karena T.ABCD adalah limas dengan alas persegi dan rusuk tegak sama, T berada tepat di atas pusat persegi. Pusat persegi adalah perpotongan diagonalnya. Misalkan O adalah pusat persegi. Maka TO tegak lurus bidang alas.

Dalam segitiga siku-siku TOA, OA = 1/2 * diagonal AC. Diagonal AC = sqrt(2^2 + 2^2) = sqrt(8) = 2*sqrt(2). Jadi OA = sqrt(2).
TO^2 + OA^2 = TA^2
TO^2 + (sqrt(2))^2 = 2^2
TO^2 + 2 = 4
TO^2 = 2 => TO = sqrt(2).

Sekarang kita punya tinggi limas TO = sqrt(2).
Titik M adalah titik tengah AB.
Jarak dari O ke M adalah setengah dari panjang sisi alas = 2/2 = 1.

Perhatikan segitiga siku-siku TOM (siku-siku di O).
TM^2 = TO^2 + OM^2
TM^2 = (sqrt(2))^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3. Jadi TM = sqrt(3).
Ini konsisten dengan TM sebagai tinggi segitiga sama sisi TAB.

Sekarang, mari kita cari sudut alpha antara bidang TAB dan bidang alas.
Bidang TAB dibentuk oleh garis TA, TB, dan AB.
Bidang alas ABCD.
Garis potong adalah AB.
Kita perlu garis tegak lurus AB di suatu titik pada bidang TAB dan bidang ABCD.

Misalkan kita ambil titik B. Garis BC tegak lurus AB di bidang alas.
Di bidang TAB, garis yang tegak lurus AB dan melalui B adalah garis TB.
Jadi sudut alpha adalah sudut antara TB dan BC. Ini bukan sudut yang dicari.

Mari kita kembali ke TM tegak lurus AB dan MN tegak lurus AB.
Alpha adalah sudut antara TM dan MN. Jadi alpha adalah sudut T M N.
Dalam segitiga T M N:
TM = sqrt(3)
MN = 2
Kita perlu TN.
N adalah titik tengah CD.
Jarak dari O (pusat alas) ke N adalah setengah dari panjang sisi alas = 2/2 = 1.

Perhatikan segitiga siku-siku TON (siku-siku di O).
TN^2 = TO^2 + ON^2
TN^2 = (sqrt(2))^2 + 1^2 = 2 + 1 = 3. Jadi TN = sqrt(3).

Sekarang kita punya segitiga T M N dengan sisi TM = sqrt(3), MN = 2, TN = sqrt(3).
Segitiga T M N adalah segitiga sama kaki.
Alpha adalah sudut T M N.
Kita bisa menggunakan aturan kosinus pada segitiga T M N untuk mencari cos(alpha).
TN^2 = TM^2 + MN^2 - 2 * TM * MN * cos(alpha)
(sqrt(3))^2 = (sqrt(3))^2 + 2^2 - 2 * sqrt(3) * 2 * cos(alpha)
3 = 3 + 4 - 4*sqrt(3)*cos(alpha)
0 = 4 - 4*sqrt(3)*cos(alpha)
4*sqrt(3)*cos(alpha) = 4
cos(alpha) = 1 / sqrt(3).

Sekarang kita perlu mencari sin(alpha).
Kita tahu sin^2(alpha) + cos^2(alpha) = 1.
sin^2(alpha) + (1/sqrt(3))^2 = 1
sin^2(alpha) + 1/3 = 1
sin^2(alpha) = 1 - 1/3 = 2/3
sin(alpha) = sqrt(2/3) = sqrt(2) / sqrt(3) = (sqrt(2) * sqrt(3)) / (sqrt(3) * sqrt(3)) = sqrt(6) / 3.

Jadi, nilai sin alpha adalah sqrt(6)/3.