limit mendekati tak hingga (4akar(x^2+x-3)-4x+2)=...

4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita perlu menggunakan teknik untuk menangani bentuk tak tentu saat x mendekati tak hingga.

Limit yang diberikan adalah: lim (x→∞) [4√(x^2+x-3) - 4x + 2]

Ini adalah bentuk ∞ - ∞, yang merupakan bentuk tak tentu. Kita dapat mengalikan dengan konjugatnya untuk menyederhanakannya.

Langkah 1: Kelompokkan suku-suku.
lim (x→∞) [(4√(x^2+x-3) - 4x) + 2]

Langkah 2: Fokus pada bagian yang menghasilkan bentuk tak tentu (∞ - ∞).
lim (x→∞) [4√(x^2+x-3) - 4x]

Langkah 3: Faktorkan keluar 4x dari akar.
lim (x→∞) [4x√(1 + 1/x - 3/x^2) - 4x]

Langkah 4: Faktorkan keluar 4x.
lim (x→∞) [4x (√(1 + 1/x - 3/x^2) - 1)]

Langkah 5: Kalikan dengan konjugat dari (√(1 + 1/x - 3/x^2) - 1), yaitu (√(1 + 1/x - 3/x^2) + 1).
lim (x→∞) [4x * (√(1 + 1/x - 3/x^2) - 1) * (√(1 + 1/x - 3/x^2) + 1) / (√(1 + 1/x - 3/x^2) + 1)]

Langkah 6: Gunakan a^2 - b^2 = (a-b)(a+b).
lim (x→∞) [4x * ((1 + 1/x - 3/x^2) - 1) / (√(1 + 1/x - 3/x^2) + 1)]

Langkah 7: Sederhanakan pembilangnya.
lim (x→∞) [4x * (1/x - 3/x^2) / (√(1 + 1/x - 3/x^2) + 1)]

Langkah 8: Kalikan 4x dengan pembilang.
lim (x→∞) [4 - 12/x / (√(1 + 1/x - 3/x^2) + 1)]

Langkah 9: Evaluasi limit saat x → ∞.
Saat x → ∞, 1/x → 0 dan 3/x^2 → 0.
lim (x→∞) [4 - 0 / (√(1 + 0 - 0) + 1)]
= 4 / (√1 + 1)
= 4 / (1 + 1)
= 4 / 2
= 2

Sekarang, kita perlu memasukkan kembali konstanta +2 yang kita abaikan di awal.
Jadi, limit keseluruhan adalah 2 + 2 = 4.