limit x->0 (1-cos (6x))/((x^2+3x)sin x) =

6

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(6x)}{(x^2 + 3x)\sin x}$, kita dapat menggunakan beberapa identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan.

Salah satu identitas yang berguna adalah $1 - \cos(2\theta) = 2\sin^2(\theta)$. Dalam kasus ini, $6x = 2(3x)$, jadi kita bisa mengganti $1 - \cos(6x)$ dengan $2\sin^2(3x)$.

Limitnya menjadi: $\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(3x)}{(x^2 + 3x)\sin x}$

Faktorkan penyebutnya: $x^2 + 3x = x(x+3)$.
Jadi, limitnya adalah: $\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(3x)}{x(x+3)\sin x}$

Kita tahu bahwa $\lim_{u \to 0} \frac{\sin u}{u} = 1$.
Kita bisa memanipulasi ekspresi tersebut untuk menggunakan sifat ini:
$\frac{2\sin^2(3x)}{x(x+3)\sin x} = 2 \cdot \frac{\sin(3x)}{x} \cdot \frac{\sin(3x)}{x+3} \cdot \frac{1}{\sin x}$

Ini terlihat sedikit rumit. Mari kita coba pendekatan lain atau menyusun ulang:
$\frac{2\sin^2(3x)}{x(x+3)\sin x} = 2 \cdot \frac{\sin(3x)}{x} \cdot \frac{\sin(3x)}{x+3} \cdot \frac{1}{\sin x}$

Mari kita bagi pembilang dan penyebut dengan $x^2$ untuk mencoba mendapatkan bentuk $\frac{\sin u}{u}$:
$\frac{2(\frac{\sin(3x)}{x})^2}{(1+\frac{3x}{x})(\frac{\sin x}{x})} = \frac{2(\frac{\sin(3x)}{x})^2}{(1+3)(\frac{\sin x}{x})}$

Kita tahu $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(ax)}{x} = a$. Jadi, $\lim_{x \to 0} \frac{\sin(3x)}{x} = 3$ dan $\lim_{x \to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.

Mengganti kembali ke ekspresi yang dimanipulasi:
$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(3x)}{x(x+3)\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot (3x)^2}{x(x+3)(3x)} term{approx}$. Ini tidak tepat.

Mari gunakan identitas $1 - \cos(2\theta) = 2\sin^2(\theta)$ dan $\lim_{x\to 0} \frac{\sin x}{x} = 1$.

$\lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos(6x)}{(x^2 + 3x)\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(3x)}{x(x+3)\sin x}$

Kita bisa menulis ulang sebagai:
$\lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{\sin(3x)}{x} \cdot \frac{\sin(3x)}{x+3} \cdot \frac{1}{\sin x}$  - ini masih salah.

Mari susun ulang seperti ini:
$\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(3x)}{x \cdot \sin x \cdot (x+3)}$

Kita butuh $\frac{\sin(3x)}{3x}$ dan $\frac{\sin x}{x}$.
$\lim_{x \to 0} 2 \cdot \frac{\sin(3x)}{3x} \cdot 3x \cdot \frac{\sin(3x)}{x} \cdot \frac{1}{x+3} \cdot \frac{x}{\sin x} \cdot \frac{1}{x}$
Ini terlalu rumit.

Mari gunakan bentuk standar $\frac{1 - \cos(ax)}{x^2} = \frac{a^2}{2}$.

Kita punya $\frac{1 - \cos(6x)}{x^2}$ di pembilang (secara implisit).
Bagi pembilang dan penyebut dengan $x^2$: 
$\lim_{x \to 0} \frac{\frac{1 - \cos(6x)}{x^2}}{(\frac{x^2 + 3x}{x^2})\sin x}$

Ini juga tidak benar.

Mari kembali ke $\lim_{x \to 0} \frac{2\sin^2(3x)}{x(x+3)\sin x}$.

Kita bisa mengalikan dan membagi dengan $9x^2$ untuk mendapatkan bentuk $\sin^2(3x)/(3x)^2$:
$\lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot \frac{\sin^2(3x)}{(3x)^2} \cdot (3x)^2}{x(x+3)\sin x} = \lim_{x \to 0} \frac{2 \cdot 1^2 \cdot 9x^2}{x(x+3)\sin x}$

$= \lim_{x \to 0} \frac{18x^2}{x(x+3)\sin x}$

Sekarang kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan $x$:
$= \lim_{x \to 0} \frac{18x}{(x+3)\sin x}$

Bagi lagi pembilang dan penyebut dengan $x$:
$= \lim_{x \to 0} \frac{18}{(1+\frac{3}{x})\frac{\sin x}{x}}$

Ini masih salah karena ada $\frac{3}{x}$.

Mari gunakan bentuk $\frac{\sin x}{x}$ di penyebut:
$\lim_{x \to 0} \frac{18x}{x(x+3)\frac{\sin x}{x}} = \lim_{x \to 0} \frac{18}{(x+3)\frac{\sin x}{x}}$

Sekarang substitusikan $x=0$:
$= \frac{18}{(0+3) \cdot 1}$
$= \frac{18}{3}$
$= 6$

Jadi, nilai limitnya adalah 6.

Atau, menggunakan aturan L'Hopital jika bentuk awalnya adalah 0/0.
Bentuk awal: $\frac{1 - \cos(0)}{(0^2 + 3*0)\sin(0)} = \frac{1-1}{0} = \frac{0}{0}$.

Turunan pembilang: $\frac{d}{dx}(1 - \cos(6x)) = 6\sin(6x)$.

Turunan penyebut: $\frac{d}{dx}((x^2 + 3x)\sin x)$
Untuk turunan penyebut, gunakan aturan perkalian: $u = x^2 + 3x$, $v = \sin x$.
$u' = 2x + 3$
$v' = \cos x$

Turunan penyebut = $u'v + uv' = (2x+3)\sin x + (x^2+3x)\cos x$.

Limitnya menjadi: $\lim_{x \to 0} \frac{6\sin(6x)}{(2x+3)\sin x + (x^2+3x)\cos x}$

Substitusikan $x=0$:
Pembilang: $6\sin(0) = 0$
Penyebut: $(2(0)+3)\sin(0) + (0^2+3(0))\cos(0) = (3)(0) + (0)(1) = 0$.
Masih 0/0, jadi kita perlu menerapkan L'Hopital lagi.

Turunan pembilang kedua: $\frac{d}{dx}(6\sin(6x)) = 36\cos(6x)$.

Turunan penyebut kedua:
Turunan dari $(2x+3)\sin x$ adalah $(2)\sin x + (2x+3)\cos x$.
Turunan dari $(x^2+3x)\cos x$ adalah $(2x+3)\cos x + (x^2+3x)(-\sin x)$.

Jadi, turunan penyebut kedua adalah:
$2\sin x + (2x+3)\cos x + (2x+3)\cos x - (x^2+3x)\sin x$
$= 2\sin x + 2(2x+3)\cos x - (x^2+3x)\sin x$

Limitnya menjadi: $\lim_{x \to 0} \frac{36\cos(6x)}{2\sin x + 2(2x+3)\cos x - (x^2+3x)\sin x}$

Substitusikan $x=0$:
Pembilang: $36\cos(0) = 36(1) = 36$.
Penyebut: $2\sin(0) + 2(2(0)+3)\cos(0) - (0^2+3(0))\sin(0)$
$= 2(0) + 2(3)(1) - (0)(0)$
$= 0 + 6 - 0 = 6$.

Jadi, limitnya adalah $\frac{36}{6} = 6$.

Hasil limitnya adalah 6.