limit x -> 0 (4x)/(sin(2x))=...

2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x\to0} \frac{4x}{\sin(2x)}$, kita dapat menggunakan sifat limit $\lim_{\theta\to0} \frac{\sin(\theta)}{\theta} = 1$ atau aturan L'Hopital.

Cara 1: Menggunakan sifat limit
Kita dapat memanipulasi persamaan agar sesuai dengan sifat tersebut:
$\lim_{x\to0} \frac{4x}{\sin(2x)} = \lim_{x\to0} \frac{2 \cdot 2x}{\sin(2x)} = 2 \cdot \lim_{x\to0} \frac{2x}{\sin(2x)}$.
Kita tahu bahwa $\lim_{x\to0} \frac{\sin(2x)}{2x} = 1$. Maka, $\lim_{x\to0} \frac{2x}{\sin(2x)} = \frac{1}{\lim_{x\to0} \frac{\sin(2x)}{2x}} = \frac{1}{1} = 1$.
Jadi, limitnya adalah $2 \cdot 1 = 2$.

Cara 2: Menggunakan aturan L'Hopital
Karena substitusi langsung $x=0$ menghasilkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital.
Turunan dari pembilang adalah $\frac{d}{dx}(4x) = 4$.
Turunan dari penyebut adalah $\frac{d}{dx}(\sin(2x)) = \cos(2x) \cdot 2 = 2\cos(2x)$.
Maka, limitnya menjadi $\lim_{x\to0} \frac{4}{2\cos(2x)} = \frac{4}{2\cos(0)} = \frac{4}{2 \cdot 1} = 2$.