limit x->0 (sin x + tan 2x)/(x cos 3x)

3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita langsung substitusikan x=0, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
Limit diberikan oleh: lim (x->0) (sin x + tan 2x) / (x cos 3x)
Langkah 1: Terapkan aturan L'Hopital dengan menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah.
Turunan pembilang: d/dx (sin x + tan 2x) = cos x + sec^2(2x) * 2 = cos x + 2 sec^2(2x)
Turunan penyebut: d/dx (x cos 3x) = (1 * cos 3x) + (x * -sin 3x * 3) = cos 3x - 3x sin 3x
Langkah 2: Substitusikan kembali x = 0 ke dalam turunan pembilang dan penyebut.
Pembilang: cos(0) + 2 sec^2(2*0) = 1 + 2 sec^2(0) = 1 + 2(1)^2 = 1 + 2 = 3
Penyebut: cos(3*0) - 3*0*sin(3*0) = cos(0) - 0 = 1
Langkah 3: Hasil limit adalah hasil bagi turunan pembilang dan penyebut.
Hasil limit = 3 / 1 = 3.

Alternatif lain tanpa L'Hopital:
Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan x, lalu menggunakan sifat limit lim (x->0) sin(x)/x = 1 dan lim (x->0) tan(ax)/x = a.
lim (x->0) (sin x + tan 2x) / (x cos 3x)
= lim (x->0) [ (sin x / x) + (tan 2x / x) ] / cos 3x
= [ lim (x->0) (sin x / x) + lim (x->0) (tan 2x / x) ] / lim (x->0) cos 3x
= [ 1 + 2 ] / cos(0)
= 3 / 1
= 3