limit x -> 1/4 pi (1-2 sin x cos x)/(sin x - cos x) = ....

Nilai limit adalah 0.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1 - 2 \sin x \cos x}{\sin x - \cos x}$, kita dapat menggunakan identitas trigonometri.

Perhatikan bagian pembilang: $1 - 2 \sin x \cos x$. Kita tahu bahwa $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$. Jadi, pembilang menjadi $1 - \sin(2x)$.

Perhatikan bagian penyebut: $\sin x - \cos x$.

Limitnya menjadi: $\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{1 - \sin(2x)}{\sin x - \cos x}$.

Jika kita substitusikan $x = \frac{\pi}{4}$:
Pembilang: $1 - \sin(2 \times \frac{\pi}{4}) = 1 - \sin(\frac{\pi}{2}) = 1 - 1 = 0$.
Penyebut: $\sin(\frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{4}) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$.
Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, kita bisa menggunakan aturan L'Hôpital atau manipulasi aljabar lebih lanjut.

Mari kita coba manipulasi aljabar:
Kita bisa menulis ulang $\sin x - \cos x$ sebagai $-(\cos x - \sin x)$.

Mari kita coba faktorkan pembilang menggunakan identitas $1 = \sin^2 x + \cos^2 x$ dan $\sin(2x) = 2 \sin x \cos x$.
$1 - \sin(2x) = (\sin^2 x + \cos^2 x) - 2 \sin x \cos x = (\cos x - \sin x)^2 = -(\sin x - \cos x)^2$

Sekarang substitusikan kembali ke dalam limit:
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} \frac{-(\sin x - \cos x)^2}{\sin x - \cos x}$

Kita bisa membatalkan satu faktor $(\sin x - \cos x)$ (karena $x \to \frac{\pi}{4}$, $\sin x - \cos x \neq 0$).
$\lim_{x \to \frac{\pi}{4}} -(\sin x - \cos x)$

Sekarang substitusikan $x = \frac{\pi}{4}$:
$-(\sin(\frac{\pi}{4}) - \cos(\frac{\pi}{4}))$
$-(\frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2})$
$-(0) = 0$

Jadi, limitnya adalah 0.