Diketahui lingkaran x^2+y^2-4x+2y+c=0 melalui titik A(5,-1)

3

Pembahasan

Persamaan lingkaran yang diberikan adalah $x^2+y^2-4x+2y+c=0$. Bentuk umum persamaan lingkaran adalah $(x-a)^2 + (y-b)^2 = r^2$, di mana $(a,b)$ adalah pusat lingkaran dan $r$ adalah jari-jari. 

Untuk mengubah persamaan yang diberikan ke bentuk standar, kita akan melengkapkan kuadrat:
$(x^2 - 4x) + (y^2 + 2y) + c = 0$
$(x^2 - 4x + 4) - 4 + (y^2 + 2y + 1) - 1 + c = 0$
$(x-2)^2 + (y+1)^2 - 5 + c = 0$
$(x-2)^2 + (y+1)^2 = 5 - c$

Dari bentuk standar ini, kita dapat mengidentifikasi pusat lingkaran adalah $(2, -1)$ dan jari-jari kuadrat $r^2 = 5 - c$.

Diketahui bahwa lingkaran melalui titik A(5, -1). Ini berarti koordinat titik A memenuhi persamaan lingkaran. Kita dapat mensubstitusikan $x=5$ dan $y=-1$ ke dalam persamaan asli atau bentuk standar untuk mencari nilai $c$ atau $r$ secara langsung.

Menggunakan persamaan asli: $x^2+y^2-4x+2y+c=0$
$(5)^2 + (-1)^2 - 4(5) + 2(-1) + c = 0$
$25 + 1 - 20 - 2 + c = 0$
$26 - 22 + c = 0$
$4 + c = 0$
$c = -4$

Sekarang kita dapat menemukan jari-jari lingkaran dengan mensubstitusikan nilai $c$ ke dalam $r^2 = 5 - c$:
$r^2 = 5 - (-4)$
$r^2 = 5 + 4$
$r^2 = 9$
$r = \sqrt{9}$
$r = 3$

Jadi, jari-jari lingkaran tersebut adalah 3.