limit x ->2 (x akar(x)-2akar(x)-2akar(2)+x

$2\sqrt{2}$

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita perlu menyederhanakan ekspresi terlebih dahulu. Perhatikan bahwa ketika x mendekati 2, baik pembilang maupun penyebut mendekati 0, sehingga kita perlu menggunakan metode lain selain substitusi langsung. Kita bisa memfaktorkan atau menggunakan aturan L'Hopital. 

Menggunakan faktorisasi:
Misalkan u = akar(x) dan v = akar(2). Pembilang menjadi $x\sqrt{x} - 2\sqrt{x} - 2\sqrt{2} + x\sqrt{2} = u^3 - 2u - 2v + u^2v$. 
Ini terlihat rumit. Mari kita coba cara lain.

Kita bisa mengalikan dengan konjugat dari penyebut, yaitu $(\sqrt{x} + \sqrt{2})$:
Pembilang: $(x\sqrt{x} - 2\sqrt{x} - 2\sqrt{2} + x\sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{2})$
Penyebut: $(\sqrt{x} - \sqrt{2})(\sqrt{x} + \sqrt{2}) = x - 2$

Mari kita perhatikan pembilang: $x\sqrt{x} - 2\sqrt{x} - 2\sqrt{2} + x\sqrt{2}$.
Kita bisa mengelompokkannya:
$(x\sqrt{x} + x\sqrt{2}) - (2\sqrt{x} + 2\sqrt{2}) = x(\sqrt{x} + \sqrt{2}) - 2(\sqrt{x} + \sqrt{2}) = (x-2)(\sqrt{x} + \sqrt{2})$

Jadi, ekspresi limitnya menjadi:
$\lim_{x\to2} \frac{(x-2)(\sqrt{x} + \sqrt{2})}{x-2}$

Kita bisa membatalkan $(x-2)$ karena $x \to 2$ tetapi $x \neq 2$.

$\lim_{x\to2} (\sqrt{x} + \sqrt{2})$

Sekarang substitusikan x = 2:
$\\sqrt{2} + \sqrt{2} = 2\sqrt{2}$

Jawaban ringkas: $2\sqrt{2}$