limit x mendekati 0 (sin4x + sin2x)/(3xcos x)=......

2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita akan menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Limit: lim (x→0) [sin(4x) + sin(2x)] / [3x cos(x)]

Cara 1: Menggunakan Aturan L'Hopital (karena substitusi langsung menghasilkan 0/0)
Turunkan pembilang dan penyebut terhadap x:
Turunan pembilang: d/dx (sin(4x) + sin(2x)) = 4cos(4x) + 2cos(2x)
Turunan penyebut: d/dx (3x cos(x)) = 3cos(x) + 3x(-sin(x)) = 3cos(x) - 3x sin(x)

Sekarang substitusikan x = 0 ke dalam hasil turunan:
= [4cos(0) + 2cos(0)] / [3cos(0) - 3(0)sin(0)]
= [4(1) + 2(1)] / [3(1) - 0]
= (4 + 2) / 3
= 6 / 3
= 2

Cara 2: Manipulasi Aljabar dengan identitas limit sin(ax)/ax = 1
Limit: lim (x→0) [sin(4x) + sin(2x)] / [3x cos(x)]
Pisahkan limitnya:
= lim (x→0) [sin(4x) / (3x cos(x))] + lim (x→0) [sin(2x) / (3x cos(x))]
= lim (x→0) [sin(4x) / 4x * (4x / 3x cos(x))] + lim (x→0) [sin(2x) / 2x * (2x / 3x cos(x))]
= lim (x→0) [sin(4x) / 4x] * lim (x→0) [4 / (3 cos(x))] + lim (x→0) [sin(2x) / 2x] * lim (x→0) [2 / (3 cos(x))]

Kita tahu bahwa lim (θ→0) sin(θ)/θ = 1.
Maka:
= 1 * [4 / (3 cos(0))] + 1 * [2 / (3 cos(0))]
= 1 * [4 / (3 * 1)] + 1 * [2 / (3 * 1)]
= 4/3 + 2/3
= 6/3
= 2

Jadi, hasil dari limit tersebut adalah 2.