limit x mendekati pi/4 (1-2 sin^2 x)/(cos x - sin x) sama

Hasil limitnya adalah $\\sqrt{2}$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\\lim_{x \to \pi/4} \frac{1 - 2 \sin^2 x}{\cos x - \sin x}$, kita dapat menggunakan identitas trigonometri $\\cos(2x) = 1 - 2 \sin^2 x$. Sehingga limit tersebut menjadi $\\lim_{x \to \pi/4} \frac{\cos(2x)}{\cos x - \sin x}$.

Substitusikan $x = \pi/4$: $\\cos(2 \cdot \pi/4) = \cos(\pi/2) = 0$. Dan $\\cos(\pi/4) - \sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} - \frac{\sqrt{2}}{2} = 0$. Karena menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Mari gunakan manipulasi aljabar:
Kita tahu bahwa $\\cos(2x) = \cos^2 x - \sin^2 x = (\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)$.
Sehingga limitnya menjadi $\\lim_{x \to \pi/4} \frac{(\cos x - \sin x)(\cos x + \sin x)}{\cos x - \sin x}$.
Kita bisa membatalkan $(\cos x - \sin x)$ dari pembilang dan penyebut.
Limitnya menjadi $\\lim_{x \to \pi/4} (\cos x + \sin x)$.
Substitusikan $x = \pi/4$: $\\cos(\pi/4) + \sin(\pi/4) = \frac{\sqrt{2}}{2} + \frac{\sqrt{2}}{2} = \sqrt{2}$.