limit x mendekati tak hingga ((4x^2+5x-3)^1/2-2x-1)=...

1/4

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan teknik membagi dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut, atau dalam kasus ini, kita akan mengamati perilaku fungsi ketika x mendekati tak hingga.

Limit yang diberikan adalah: lim x→∞ ((4x^2+5x-3)^1/2 - 2x - 1)

Ini adalah bentuk tak tentu karena kedua suku utama, (4x^2)^1/2 = 2x dan -2x, akan saling menghilangkan. Untuk menanganinya, kita akan mengalikan dengan konjugatnya.

Kita dapat menulis ulang ekspresi sebagai: ((4x^2+5x-3)^1/2 - (2x+1))

Kalikan dengan konjugatnya: (((4x^2+5x-3)^1/2 - (2x+1)) * ((4x^2+5x-3)^1/2 + (2x+1))) / ((4x^2+5x-3)^1/2 + (2x+1))

Ini menghasilkan: (4x^2+5x-3) - (2x+1)^2 / ((4x^2+5x-3)^1/2 + (2x+1))

Sederhanakan pembilangnya: (4x^2+5x-3) - (4x^2 + 4x + 1)
= 4x^2 + 5x - 3 - 4x^2 - 4x - 1
= x - 4

Jadi, ekspresi menjadi: (x - 4) / ((4x^2+5x-3)^1/2 + (2x+1))

Sekarang, kita bagi pembilang dan penyebut dengan x (atau x^2 di dalam akar kuadrat):

Untuk pembilang: (x - 4) / x = 1 - 4/x

Untuk penyebut: ((4x^2+5x-3)^1/2 + (2x+1)) / x
= ((4x^2+5x-3)/x^2)^1/2 + (2x+1)/x
= (4 + 5/x - 3/x^2)^1/2 + 2 + 1/x

Ketika x mendekati tak hingga (x → ∞):
4/x → 0
5/x → 0
3/x^2 → 0
1/x → 0

Jadi, limitnya menjadi: (1 - 0) / ((4 + 0 - 0)^1/2 + 2 + 0)
= 1 / (4^1/2 + 2)
= 1 / (2 + 2)
= 1 / 4

Jadi, limit x mendekati tak hingga ((4x^2+5x-3)^1/2-2x-1) adalah 1/4.