limit x mendekati tak hingga (akar((2x-1)(x+2))-(x

3√2/4 - 1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x\to	erinfty} [\sqrt{(2x-1)(x+2)} - (x\sqrt{2}+1)]$, kita perlu menyederhanakan ekspresi di dalam akar terlebih dahulu.

$(2x-1)(x+2) = 2x^2 + 4x - x - 2 = 2x^2 + 3x - 2$

Jadi, limitnya menjadi: $\lim_{x\to	erinfty} [\sqrt{2x^2 + 3x - 2} - (x\sqrt{2}+1)]$

Karena ini adalah bentuk tak tentu $\infty - \infty$, kita akan mengalikannya dengan bentuk konjugatnya.
Konjugat dari $\sqrt{2x^2 + 3x - 2} - (x\sqrt{2}+1)$ adalah $\sqrt{2x^2 + 3x - 2} + (x\sqrt{2}+1)$.

$\lim_{x\to	erinfty} \frac{(\sqrt{2x^2 + 3x - 2} - (x\sqrt{2}+1))(\sqrt{2x^2 + 3x - 2} + (x\sqrt{2}+1))}{\sqrt{2x^2 + 3x - 2} + (x\sqrt{2}+1)}$

$=\lim_{x\to	erinfty} \frac{(2x^2 + 3x - 2) - (x\sqrt{2}+1)^2}{\sqrt{2x^2 + 3x - 2} + x\sqrt{2}+1}$

$= \lim_{x\to	erinfty} \frac{(2x^2 + 3x - 2) - (2x^2 + 2x\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{2x^2 + 3x - 2} + x\sqrt{2}+1}$

$= \lim_{x\to	erinfty} \frac{2x^2 + 3x - 2 - 2x^2 - 2x\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2x^2 + 3x - 2} + x\sqrt{2}+1}$

$= \lim_{x\to	erinfty} \frac{3x - 2x\sqrt{2} - 3}{\sqrt{2x^2 + 3x - 2} + x\sqrt{2}+1}$

$= \lim_{x\to	erinfty} \frac{x(3 - 2\sqrt{2}) - 3}{\sqrt{x^2(2 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2})} + x\sqrt{2}+1}$

$= \lim_{x\to	erinfty} \frac{x(3 - 2\sqrt{2}) - 3}{x\sqrt{2 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2}} + x\sqrt{2}+1}$

Bagi pembilang dan penyebut dengan $x$ (atau $x^2$ di dalam akar):

$= \lim_{x\to	erinfty} \frac{(3 - 2\sqrt{2}) - \frac{3}{x}}{\sqrt{2 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2}} + \sqrt{2} + \frac{1}{x}}$

Saat $x \to 	erinfty$, suku yang memiliki $x$ di penyebut akan mendekati 0.

$= \frac{3 - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{2}}$

$= \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$

Untuk merasionalkan penyebut, kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{2}$:

$= \frac{(3 - 2\sqrt{2})\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})\sqrt{2}}$

$= \frac{3\sqrt{2} - 2(2)}{2(2)}$

$= \frac{3\sqrt{2} - 4}{4}$

$= \frac{3\sqrt{2}}{4} - 1$