Kelas 11Kelas 12mathLimit Fungsi
limit x mendekati tak hingga (akar((2x-1)(x+2))-(x
Pertanyaan
limit x mendekati tak hingga (akar((2x-1)(x+2))-(x akar(2)+1))=...
Solusi
Verified
3√2/4 - 1
Pembahasan
Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x\to erinfty} [\sqrt{(2x-1)(x+2)} - (x\sqrt{2}+1)]$, kita perlu menyederhanakan ekspresi di dalam akar terlebih dahulu. $(2x-1)(x+2) = 2x^2 + 4x - x - 2 = 2x^2 + 3x - 2$ Jadi, limitnya menjadi: $\lim_{x\to erinfty} [\sqrt{2x^2 + 3x - 2} - (x\sqrt{2}+1)]$ Karena ini adalah bentuk tak tentu $\infty - \infty$, kita akan mengalikannya dengan bentuk konjugatnya. Konjugat dari $\sqrt{2x^2 + 3x - 2} - (x\sqrt{2}+1)$ adalah $\sqrt{2x^2 + 3x - 2} + (x\sqrt{2}+1)$. $\lim_{x\to erinfty} \frac{(\sqrt{2x^2 + 3x - 2} - (x\sqrt{2}+1))(\sqrt{2x^2 + 3x - 2} + (x\sqrt{2}+1))}{\sqrt{2x^2 + 3x - 2} + (x\sqrt{2}+1)}$ $=\lim_{x\to erinfty} \frac{(2x^2 + 3x - 2) - (x\sqrt{2}+1)^2}{\sqrt{2x^2 + 3x - 2} + x\sqrt{2}+1}$ $= \lim_{x\to erinfty} \frac{(2x^2 + 3x - 2) - (2x^2 + 2x\sqrt{2} + 1)}{\sqrt{2x^2 + 3x - 2} + x\sqrt{2}+1}$ $= \lim_{x\to erinfty} \frac{2x^2 + 3x - 2 - 2x^2 - 2x\sqrt{2} - 1}{\sqrt{2x^2 + 3x - 2} + x\sqrt{2}+1}$ $= \lim_{x\to erinfty} \frac{3x - 2x\sqrt{2} - 3}{\sqrt{2x^2 + 3x - 2} + x\sqrt{2}+1}$ $= \lim_{x\to erinfty} \frac{x(3 - 2\sqrt{2}) - 3}{\sqrt{x^2(2 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2})} + x\sqrt{2}+1}$ $= \lim_{x\to erinfty} \frac{x(3 - 2\sqrt{2}) - 3}{x\sqrt{2 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2}} + x\sqrt{2}+1}$ Bagi pembilang dan penyebut dengan $x$ (atau $x^2$ di dalam akar): $= \lim_{x\to erinfty} \frac{(3 - 2\sqrt{2}) - \frac{3}{x}}{\sqrt{2 + \frac{3}{x} - \frac{2}{x^2}} + \sqrt{2} + \frac{1}{x}}$ Saat $x \to erinfty$, suku yang memiliki $x$ di penyebut akan mendekati 0. $= \frac{3 - 2\sqrt{2}}{\sqrt{2} + \sqrt{2}}$ $= \frac{3 - 2\sqrt{2}}{2\sqrt{2}}$ Untuk merasionalkan penyebut, kalikan pembilang dan penyebut dengan $\sqrt{2}$: $= \frac{(3 - 2\sqrt{2})\sqrt{2}}{(2\sqrt{2})\sqrt{2}}$ $= \frac{3\sqrt{2} - 2(2)}{2(2)}$ $= \frac{3\sqrt{2} - 4}{4}$ $= \frac{3\sqrt{2}}{4} - 1$
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Limit Fungsi Tak Hingga
Section: Bentuk Tak Tentu Infinity Infinity
Apakah jawaban ini membantu?