limit x mendekati tak hingga (akar(x^2+2x)-x)=....

Nilai limit adalah 1.

Pembahasan

Kita diminta untuk mencari nilai dari limit:
lim (√(x² + 2x) - x) saat x mendekati tak hingga.

Jika kita langsung substitusikan x → ∞, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu ∞ - ∞.
Untuk mengatasi ini, kita dapat mengalikan dengan bentuk konjugatnya:
Konjugat dari √(x² + 2x) - x adalah √(x² + 2x) + x.

limit [ (√(x² + 2x) - x) * (√(x² + 2x) + x) / (√(x² + 2x) + x) ] saat x → ∞

= limit [ (x² + 2x) - x² ] / [ √(x² + 2x) + x ] saat x → ∞

= limit [ 2x ] / [ √(x² + 2x) + x ] saat x → ∞

Selanjutnya, kita bagi pembilang dan penyebut dengan x. Perlu diingat bahwa x = √(x²) untuk x positif (karena x mendekati tak hingga).

= limit [ 2x / x ] / [ √(x² + 2x)/x + x/x ] saat x → ∞

= limit [ 2 ] / [ √( (x² + 2x)/x² ) + 1 ] saat x → ∞

= limit [ 2 ] / [ √( x²/x² + 2x/x² ) + 1 ] saat x → ∞

= limit [ 2 ] / [ √( 1 + 2/x ) + 1 ] saat x → ∞

Sekarang, kita substitusikan x → ∞:
Ketika x → ∞, maka 2/x → 0.

= 2 / [ √(1 + 0) + 1 ]

= 2 / [ √1 + 1 ]

= 2 / [ 1 + 1 ]

= 2 / 2

= 1

Jadi, limit x mendekati tak hingga dari (√(x² + 2x) - x) adalah 1.