Tentukan suku ke-10 dari setiap pola bilangan berikut: a.

Suku ke-10 untuk pola a adalah 52. Suku ke-10 untuk pola b adalah 199.

Pembahasan

Untuk menentukan suku ke-10 dari setiap pola bilangan, kita perlu mengidentifikasi jenis pola tersebut terlebih dahulu.

a. Pola bilangan: 7, 12, 17, 22, ...
Ini adalah barisan aritmetika karena selisih antara suku-suku yang berdekatan adalah konstan.
Suku pertama (a) = 7.
Beda (b) = 12 - 7 = 5. (17 - 12 = 5, 22 - 17 = 5).
Rumus suku ke-n barisan aritmetika adalah U_n = a + (n-1)b.
Untuk suku ke-10 (n=10):
U_10 = 7 + (10-1) * 5
U_10 = 7 + 9 * 5
U_10 = 7 + 45
U_10 = 52

b. Pola bilangan: 1, 7, 17, 31, ...
Mari kita cari selisih antar suku:
7 - 1 = 6
17 - 7 = 10
31 - 17 = 14

Selisihnya adalah 6, 10, 14. Ini adalah barisan aritmetika tingkat kedua karena selisih dari selisih tersebut konstan:
10 - 6 = 4
14 - 10 = 4

Ini adalah barisan aritmetika tingkat kedua dengan beda tingkat pertama (b1) = 6 dan beda tingkat kedua (b2) = 4.
Rumus suku ke-n barisan aritmetika tingkat kedua adalah U_n = An^2 + Bn + C.
Atau, kita bisa menggunakan rumus:
U_n = U_1 + (n-1)b1 + ((n-1)(n-2)/2)b2

Untuk suku ke-10 (n=10):
U_10 = 1 + (10-1)*6 + ((10-1)(10-2)/2)*4
U_10 = 1 + 9*6 + (9*8/2)*4
U_10 = 1 + 54 + (72/2)*4
U_10 = 1 + 54 + 36*4
U_10 = 1 + 54 + 144
U_10 = 199

Cara lain untuk pola b: Mencari rumus Un = An^2 + Bn + C.
Untuk n=1, U1=1: A(1)^2 + B(1) + C = A + B + C = 1
Untuk n=2, U2=7: A(2)^2 + B(2) + C = 4A + 2B + C = 7
Untuk n=3, U3=17: A(3)^2 + B(3) + C = 9A + 3B + C = 17

Dari A+B+C=1 dan 4A+2B+C=7, kurangkan keduanya: (4A+2B+C) - (A+B+C) = 7 - 1 => 3A + B = 6 (Persamaan 1)
Dari 4A+2B+C=7 dan 9A+3B+C=17, kurangkan keduanya: (9A+3B+C) - (4A+2B+C) = 17 - 7 => 5A + B = 10 (Persamaan 2)

Kurangkan Persamaan 1 dari Persamaan 2: (5A+B) - (3A+B) = 10 - 6 => 2A = 4 => A = 2.
Substitusikan A=2 ke Persamaan 1: 3(2) + B = 6 => 6 + B = 6 => B = 0.
Substitusikan A=2 dan B=0 ke A+B+C=1: 2 + 0 + C = 1 => C = -1.
Jadi, rumus suku ke-n adalah Un = 2n^2 - 1.

Untuk suku ke-10 (n=10):
U_10 = 2(10)^2 - 1
U_10 = 2(100) - 1
U_10 = 200 - 1
U_10 = 199

Jadi, suku ke-10 untuk pola a adalah 52 dan untuk pola b adalah 199.