limit x mendekati tak hingga akar(x(x+5))-2x+1=...

Hasil limit adalah -∞.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit tersebut, kita perlu menganalisis perilaku fungsi saat x mendekati tak hingga.

**Soal:**
limit x mendekati tak hingga akar(x(x+5))-2x+1

**Langkah-langkah Penyelesaian:**
1.  **Sederhanakan ekspresi di bawah akar:**
    x(x+5) = x² + 5x
    Jadi, ekspresi menjadi: akar(x² + 5x) - 2x + 1

2.  **Bentuk akar menjadi bentuk (ax+b)² atau serupa untuk mempermudah:**
    Kita bisa mencoba membentuk x² + 5x menjadi kuadrat sempurna. Ingat (x + a)² = x² + 2ax + a².
    Agar 2ax = 5x, maka 2a = 5, sehingga a = 5/2.
    Maka, (x + 5/2)² = x² + 5x + (5/2)² = x² + 5x + 25/4.
    Jadi, x² + 5x = (x + 5/2)² - 25/4.

3.  **Substitusikan kembali ke dalam ekspresi limit:**
    limit x→∞ [ √((x + 5/2)² - 25/4) - 2x + 1 ]

    Kita bisa memanipulasi bagian akar agar mirip dengan bentuk (ax+b).
    √ (x² + 5x) = √ [x²(1 + 5/x)] = |x| √(1 + 5/x)
    Karena x mendekati tak hingga, x positif, maka |x| = x.
    Jadi, √ (x² + 5x) = x √(1 + 5/x).

    Ekspresi menjadi: limit x→∞ [ x √(1 + 5/x) - 2x + 1 ]
    = limit x→∞ [ x (√(1 + 5/x) - 2) + 1 ]

    Ini masih belum bentuk yang mudah. Mari kita gunakan metode mengalikan dengan sekawan.

    Limit = limit x→∞ [ √(x² + 5x) - (2x - 1) ]
    Kalikan dengan sekawan: [ √(x² + 5x) + (2x - 1) ] / [ √(x² + 5x) + (2x - 1) ]

    = limit x→∞ [ (x² + 5x) - (2x - 1)² ] / [ √(x² + 5x) + (2x - 1) ]
    = limit x→∞ [ (x² + 5x) - (4x² - 4x + 1) ] / [ √(x² + 5x) + 2x - 1 ]
    = limit x→∞ [ x² + 5x - 4x² + 4x - 1 ] / [ √(x² + 5x) + 2x - 1 ]
    = limit x→∞ [ -3x² + 9x - 1 ] / [ √(x² + 5x) + 2x - 1 ]

    Untuk menyelesaikan limit tak hingga dari fungsi rasional (atau yang mirip), kita bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut. Pangkat tertinggi di penyebut adalah x (dari √(x²)).

    = limit x→∞ [ (-3x²/x) + (9x/x) - (1/x) ] / [ √(x²/x²) + (5x/x²) - (1/x) + (2x/x) - (1/x) ]
    = limit x→∞ [ -3x + 9 - 1/x ] / [ √(1 + 5/x) - 1/x + 2 - 1/x ]
    = limit x→∞ [ -3x + 9 ] / [ √(1 + 5/x) + 2 ]

    Saat x→∞, -3x → -∞, dan √(1 + 5/x) → √1 = 1.
    Jadi, bagian penyebut mendekati 1 + 2 = 3.
    Bagian pembilang menjadi -∞.
    Hasilnya adalah -∞.

    **Mari kita periksa kembali pendekatan sekawan. Mungkin ada kesalahan dalam manipulasi awal.**

    Limit = limit x→∞ [ √(x² + 5x) - 2x + 1 ]
    Kita kelompokkan: limit x→∞ [ √(x² + 5x) - (2x - 1) ]
    Sekawan dari [ A - B ] adalah [ A + B ]
    A = √(x² + 5x)
    B = (2x - 1)
    A + B = √(x² + 5x) + (2x - 1)

    Limit = limit x→∞ [ (√(x² + 5x) - (2x - 1)) * (√(x² + 5x) + (2x - 1)) ] / [ √(x² + 5x) + (2x - 1) ]
    = limit x→∞ [ (x² + 5x) - (2x - 1)² ] / [ √(x² + 5x) + 2x - 1 ]
    = limit x→∞ [ x² + 5x - (4x² - 4x + 1) ] / [ √(x² + 5x) + 2x - 1 ]
    = limit x→∞ [ x² + 5x - 4x² + 4x - 1 ] / [ √(x² + 5x) + 2x - 1 ]
    = limit x→∞ [ -3x² + 9x - 1 ] / [ √(x² + 5x) + 2x - 1 ]

    Pembagian dengan x di penyebut:
    Limit = limit x→∞ [ -3x + 9 - 1/x ] / [ √(1 + 5/x) + 2 - 1/x ]
    = limit x→∞ [ -3x + 9 ] / [ √(1 + 5/x) + 2 ]
    = limit x→∞ [ -3x ] / [ 1 + 2 ] = limit x→∞ [ -3x / 3 ] = limit x→∞ [ -x ] = -∞

    **Ada kemungkinan kesalahan dalam pemahaman soal atau metode standar untuk bentuk seperti ini.**

    Mari kita coba bentuk lain:
    limit x→∞ [ √(x² + 5x) - 2x + 1 ]
    = limit x→∞ [ x√(1 + 5/x) - 2x + 1 ]
    = limit x→∞ [ x(√(1 + 5/x) - 2) + 1 ]

    Kita gunakan ekspansi binomial untuk √(1 + u) ≈ 1 + (1/2)u untuk u kecil.
    Di sini, u = 5/x, yang mendekati 0 saat x→∞.
    √(1 + 5/x) ≈ 1 + (1/2)(5/x) = 1 + 5/(2x)

    Substitusikan kembali:
    = limit x→∞ [ x( (1 + 5/(2x)) - 2) + 1 ]
    = limit x→∞ [ x( 5/(2x) - 1) + 1 ]
    = limit x→∞ [ x(5/(2x)) - x(1) + 1 ]
    = limit x→∞ [ 5/2 - x + 1 ]
    = limit x→∞ [ 7/2 - x ]
    = -∞

    **Jika soalnya adalah: limit x→∞ [ √(x² + 5x) - (2x - 1) ]**
    Ini sudah kita hitung.

    **Jika soalnya adalah: limit x→∞ [ √(x² + 5x) + 2x + 1 ]**
    Maka hasilnya akan ∞.

    **Jika soalnya adalah: limit x→∞ [ √(x² + 5x) - x + 1 ]**
    Limit = limit x→∞ [ √(x² + 5x) - x ]
    = limit x→∞ [ x√(1 + 5/x) - x ]
    = limit x→∞ [ x(√(1 + 5/x) - 1) ]
    Gunakan ekspansi binomial: √(1 + 5/x) ≈ 1 + 5/(2x)
    = limit x→∞ [ x( (1 + 5/(2x)) - 1) ]
    = limit x→∞ [ x(5/(2x)) ]
    = limit x→∞ [ 5/2 ] = 5/2

    **Berdasarkan bentuk soal yang tertulis, yaitu limit x mendekati tak hingga akar(x(x+5))-2x+1, hasil yang paling konsisten dengan metode aljabar adalah -∞.**

    Mari kita coba sekali lagi dengan metode pengali sekawan yang lebih hati-hati:
    Limit = limit x→∞ [ √(x² + 5x) - (2x - 1) ]
    Kita tahu bahwa a² - b² = (a-b)(a+b).
    Kita ingin bentuk seperti √(A) - B. Maka kita kalikan dengan √(A) + B.
    Namun, bentuknya adalah √(x² + 5x) - 2x + 1.
    Kita bisa tulis sebagai √(x² + 5x) - (2x - 1).

    Limit = limit x→∞ [ √(x² + 5x) - (2x - 1) ]
    Pangkat tertinggi di dalam akar adalah x².
    Kita keluarkan x dari akar: √(x²(1 + 5/x)) = |x|√(1 + 5/x).
    Karena x→∞, |x| = x.
    Limit = limit x→∞ [ x√(1 + 5/x) - 2x + 1 ]
    = limit x→∞ [ x(√(1 + 5/x) - 2) + 1 ]

    Sekarang kita fokus pada limit x→∞ [ x(√(1 + 5/x) - 2) ].
    Ini adalah bentuk ∞ * (√1 - 2) = ∞ * (1 - 2) = ∞ * (-1) = -∞.
    Jadi, limit keseluruhannya adalah -∞ + 1 = -∞.

    **Kesimpulan:**
    Dengan asumsi penulisan soal yang benar, yaitu limit x→∞ [√(x² + 5x) - 2x + 1], maka hasilnya adalah -∞.
    Namun, soal limit seringkali dirancang agar memiliki hasil yang terhingga. Jika ada kemungkinan kesalahan pengetikan dan yang dimaksud adalah:
    limit x→∞ [√(x² + 5x) - x + 1], maka hasilnya 5/2.
    Atau jika yang dimaksud adalah:
    limit x→∞ [√(x² + 5x) - (x - 1)], maka hasilnya juga 5/2.

    Kita akan menjawab berdasarkan soal yang tertulis.

**Jawaban:**
Untuk menyelesaikan limit x mendekati tak hingga dari ekspresi √(x(x+5)) - 2x + 1, kita perlu menyederhanakan ekspresi tersebut.

1.  Sederhanakan bagian dalam akar: x(x+5) = x² + 5x.
    Ekspresi menjadi: limit x→∞ [ √(x² + 5x) - 2x + 1 ]

2.  Kita bisa menulis ulang ekspresi ini sebagai:
    limit x→∞ [ √(x² + 5x) - (2x - 1) ]

3.  Untuk menyelesaikan limit bentuk seperti ini (∞ - ∞), kita kalikan dengan bentuk sekawannya, yaitu [√(x² + 5x) + (2x - 1)] / [√(x² + 5x) + (2x - 1)].

    Limit = limit x→∞ [ (x² + 5x) - (2x - 1)² ] / [ √(x² + 5x) + (2x - 1) ]
    Limit = limit x→∞ [ (x² + 5x) - (4x² - 4x + 1) ] / [ √(x² + 5x) + 2x - 1 ]
    Limit = limit x→∞ [ -3x² + 9x - 1 ] / [ √(x² + 5x) + 2x - 1 ]

4.  Bagi pembilang dan penyebut dengan pangkat tertinggi dari x di penyebut, yaitu x:
    Limit = limit x→∞ [ (-3x²/x) + (9x/x) - (1/x) ] / [ √(x²/x²) + (5x/x²) - (1/x) + (2x/x) - (1/x) ]
    Limit = limit x→∞ [ -3x + 9 - 1/x ] / [ √(1 + 5/x) + 2 - 1/x ]

5.  Saat x mendekati tak hingga (x→∞):
    *   -3x → -∞
    *   9 → 9
    *   1/x → 0
    *   √(1 + 5/x) → √1 = 1
    *   2 → 2
    *   1/x → 0

    Sehingga limitnya menjadi:
    Limit = (-∞ + 9 - 0) / (1 + 2 - 0) = -∞ / 3 = -∞.

**Jawaban Ringkas:** Hasil limit adalah -∞.

**Metadata:**
*   Grades: 11, 12
*   Chapters: Kalkulus
*   Topics: Limit Fungsi
*   Sections: Limit Fungsi Tak Hingga
*   Type: QnA