limit x mendekati tak hingga (sin^2 (2/x))/(sin(3/x)

4/3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan sifat-sifat limit trigonometri, khususnya $\lim_{y \to 0} \frac{\sin(y)}{y} = 1$ dan $\lim_{y \to 0} \frac{\tan(y)}{y} = 1$.

Kita perhatikan bahwa saat x mendekati tak hingga (x → ∞), maka 2/x, 3/x, dan 1/x semuanya mendekati 0.

Misalkan y = 1/x. Maka saat x → ∞, y → 0.

Limit dapat ditulis ulang dalam bentuk y:
Limit y→0 [sin^2(2y)] / [sin(3y) * tan(y)]

Sekarang, kita akan memanipulasi ekspresi agar sesuai dengan bentuk limit standar. Kita akan mengalikan dan membagi dengan suku-suku yang sesuai:

$\lim_{y \to 0} \frac{\sin^2(2y)}{1} \times \frac{1}{\sin(3y)} \times \frac{1}{\tan(y)}$

Kita perlu membuat penyebutnya memiliki argumen yang sama dengan fungsi sinus atau tangen.

$\lim_{y \to 0} \frac{\sin(2y)}{2y} \times \frac{\sin(2y)}{2y} \times \frac{2y}{1} \times \frac{2y}{1} \times \frac{1}{\sin(3y)} \times \frac{1}{\tan(y)}$

Ini menjadi rumit. Cara yang lebih efisien adalah dengan memodifikasi ekspresi secara keseluruhan:

$\lim_{y \to 0} \frac{\sin^2(2y)}{1} \times \frac{1}{\sin(3y)} \times \frac{1}{\tan(y)}$

Kita tahu $\sin(2y) \approx 2y$ dan $\tan(y) \approx y$ untuk y mendekati 0.
Juga, $\sin(3y) \approx 3y$ untuk y mendekati 0.

Substitusikan aproksimasi ini:
$\lim_{y \to 0} \frac{(2y)^2}{1} \times \frac{1}{3y} \times \frac{1}{y}$
$= \lim_{y \to 0} \frac{4y^2}{1} \times \frac{1}{3y} \times \frac{1}{y}$
$= \lim_{y \to 0} \frac{4y^2}{3y^2}$
$= \frac{4}{3}$

Cara yang lebih formal:
Kita ingin mengubah ekspresi menjadi bentuk yang melibatkan $\frac{\sin(ay)}{ay}$ dan $\frac{\tan(by)}{by}$.

$\lim_{y \to 0} \frac{\sin(2y) \cdot \sin(2y)}{\sin(3y) \cdot \tan(y)}$

Kalikan dan bagi dengan $2y$, $2y$, $3y$, dan $y$:

$= \lim_{y \to 0} \frac{\sin(2y)}{2y} \cdot \frac{\sin(2y)}{2y} \cdot \frac{2y \cdot 2y}{1} \cdot \frac{1}{\sin(3y)} \cdot \frac{1}{\tan(y)}$

$= \lim_{y \to 0} \left( \frac{\sin(2y)}{2y} \right) \cdot \left( \frac{\sin(2y)}{2y} \right) \cdot \frac{4y^2}{\sin(3y)} \cdot \frac{1}{\tan(y)}$

Sekarang, fokus pada bagian $\frac{4y^2}{\sin(3y) \tan(y)}$:

$= \lim_{y \to 0} \left( \frac{\sin(2y)}{2y} \right)^2 \cdot \frac{4y^2}{\sin(3y) \tan(y)}$

Kita perlu mengalikan dan membagi dengan $3y$ dan $y$ untuk $\sin(3y)$ dan $\tan(y)$:

$= \lim_{y \to 0} \left( \frac{\sin(2y)}{2y} \right)^2 \cdot \frac{4y^2}{\frac{\sin(3y)}{3y} \cdot 3y \cdot \frac{\tan(y)}{y} \cdot y}$

$= \lim_{y \to 0} \left( \frac{\sin(2y)}{2y} \right)^2 \cdot \frac{4y^2}{\left( \frac{\sin(3y)}{3y} \right) \cdot \left( \frac{\tan(y)}{y} \right) \cdot 3y \cdot y}$

Kita tahu $\lim_{y \to 0} \frac{\sin(2y)}{2y} = 1$, $\lim_{y \to 0} \frac{\sin(3y)}{3y} = 1$, dan $\lim_{y \to 0} \frac{\tan(y)}{y} = 1$.

Substitusikan nilai limit tersebut:

$= (1)^2 \cdot \frac{4y^2}{1 \cdot 1 \cdot 3y \cdot y}$
$= 1 \cdot \frac{4y^2}{3y^2}$
$= \frac{4}{3}$

Jadi, nilai limitnya adalah 4/3.