limit x mendekati tak hingga x(1-cos 1/akar(x)) = ...

0

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit x mendekati tak hingga dari x(1 - cos(1/√x)), kita dapat menggunakan substitusi. Misalkan y = 1/√x. Ketika x mendekati tak hingga, y akan mendekati 0. Maka, soal tersebut menjadi:

lim (y→0) (1/y)(1 - cos(y))

Kita bisa menulisnya sebagai:

lim (y→0) (1 - cos(y))/y

Ini adalah bentuk tak tentu 0/0, sehingga kita bisa menggunakan aturan L'Hopital atau identitas trigonometri.

Menggunakan identitas trigonometri:
1 - cos(y) = 2 sin²(y/2)

Maka, limitnya menjadi:

lim (y→0) [2 sin²(y/2)] / y

Kita bisa memisahnya menjadi:

lim (y→0) 2 * [sin(y/2) / (y/2)] * [sin(y/2) / 2]

Kita tahu bahwa lim (θ→0) sin(θ)/θ = 1. Jadi, lim (y→0) sin(y/2)/(y/2) = 1.

Maka, limitnya menjadi:

2 * 1 * (sin(0)/2) = 2 * 1 * 0 = 0

Jadi, limit x mendekati tak hingga dari x(1 - cos(1/√x)) adalah 0.