Lingkatan (x-2)^2+(y+3)^2=25 ditransformasikan oleh matriks

Bayangan lingkaran adalah $(x-3)^2+(y-2)^2=25$

Pembahasan

Lingkaran yang diberikan memiliki persamaan $(x-2)^2+(y+3)^2=25$. Ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat di $(2, -3)$ dan jari-jari 5.

Transformasi pertama dilakukan oleh matriks $A = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$. Matriks ini merepresentasikan rotasi sebesar 90 derajat berlawanan arah jarum jam terhadap titik asal.

Transformasi kedua dilakukan oleh matriks $B = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix}$. Matriks ini adalah matriks identitas, yang berarti transformasi ini tidak mengubah objek yang ditransformasikannya (yaitu, identitas).

Ketika sebuah objek ditransformasikan oleh serangkaian matriks, matriks transformasinya adalah hasil perkalian matriks-matriks tersebut dalam urutan yang benar. Dalam kasus ini, transformasi gabungan adalah $T = B 	imes A$.
$T = \begin{pmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 1 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 1 	imes 0 + 0 	imes 1 & 1 	imes (-1) + 0 	imes 0 \\ 0 	imes 0 + 1 	imes 1 & 0 	imes (-1) + 1 	imes 0 \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix}$

Hasilnya adalah matriks yang sama dengan matriks transformasi pertama, karena matriks kedua adalah matriks identitas. Jadi, transformasi gabungan ini sama dengan rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam.

Kita perlu menerapkan transformasi ini ke persamaan lingkaran $(x-2)^2+(y+3)^2=25$.
Misalkan titik $(x, y)$ ditransformasikan menjadi $(x', y')$. Maka:
$ \begin{pmatrix} x' \\ y' \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} 0 & -1 \\ 1 & 0 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} x \\ y \end{pmatrix} = \begin{pmatrix} -y \\ x \end{pmatrix} $

Dari sini, kita dapat mengekspresikan $x$ dan $y$ dalam bentuk $x'$ dan $y'$:
$x' = -y \implies y = -x'$ 
$y' = x \implies x = y'$ 

Sekarang, substitusikan $x = y'$ dan $y = -x'$ ke dalam persamaan lingkaran asli:
$(y' - 2)^2 + (-x' + 3)^2 = 25$
$(y' - 2)^2 + (-(x' - 3))^2 = 25$
$(y' - 2)^2 + (x' - 3)^2 = 25$

Gambar ulang persamaan dengan variabel standar $(x, y)$: $(x - 3)^2 + (y - 2)^2 = 25$.

Ini adalah persamaan lingkaran dengan pusat di $(3, 2)$ dan jari-jari 5. Lingkaran asli berpusat di $(2, -3)$. Rotasi 90 derajat berlawanan arah jarum jam memetakan titik $(2, -3)$ ke $(-(-3), 2) = (3, 2)$. Jari-jari lingkaran tidak berubah oleh rotasi.