Luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y=x^2-4x+4

10/3 satuan luas.

Pembahasan

Untuk mencari luas daerah tertutup yang dibatasi oleh kurva y=x^2-4x+4 dan y=4x-x^2 pada interval 1<=x<=2, kita perlu mencari titik potong kedua kurva terlebih dahulu dengan menyamakan kedua persamaan:
x^2-4x+4 = 4x-x^2
2x^2-8x+4 = 0
x^2-4x+2 = 0
Menggunakan rumus kuadratik, x = [-b ± sqrt(b^2-4ac)] / 2a
x = [4 ± sqrt((-4)^2 - 4*1*2)] / 2*1
x = [4 ± sqrt(16-8)] / 2
x = [4 ± sqrt(8)] / 2
x = [4 ± 2*sqrt(2)] / 2
x = 2 ± sqrt(2)
Jadi, titik potongnya adalah x = 2 - sqrt(2) dan x = 2 + sqrt(2).
Karena interval yang diberikan adalah 1<=x<=2, kita perlu mengintegrasikan selisih kedua fungsi pada interval ini. Perhatikan bahwa pada interval ini, kurva y=4x-x^2 berada di atas kurva y=x^2-4x+4.
Luas = integral dari [ (4x-x^2) - (x^2-4x+4) ] dx dari 1 sampai 2
Luas = integral dari [ -2x^2 + 8x - 4 ] dx dari 1 sampai 2
Luas = [-2/3 * x^3 + 4x^2 - 4x] dari 1 sampai 2
Luas = [(-2/3 * 2^3 + 4*2^2 - 4*2) - (-2/3 * 1^3 + 4*1^2 - 4*1)]
Luas = [(-16/3 + 16 - 8) - (-2/3 + 4 - 4)]
Luas = [(-16/3 + 8) - (-2/3)]
Luas = [-16/3 + 24/3 + 2/3]
Luas = 10/3 satuan luas.