Luas daerah yang dibatasi oleh kurva y=-x^2+6x, y=x^2-2x,

Luas daerah tersebut adalah 18 satuan luas.

Pembahasan

Untuk menghitung luas daerah yang dibatasi oleh dua kurva dan dua garis vertikal, kita perlu mencari titik potong kedua kurva terlebih dahulu, lalu mengintegrasikan selisih kedua fungsi antara batas yang diberikan.

1. Cari titik potong:
   -x^2 + 6x = x^2 - 2x
   0 = 2x^2 - 8x
   0 = 2x(x - 4)
   Titik potong terjadi pada x = 0 dan x = 4.

2. Tentukan fungsi mana yang berada di atas pada interval [0, 3]:
   Ambil nilai uji, misalnya x = 1.
   Untuk y = -x^2 + 6x, y(1) = -(1)^2 + 6(1) = -1 + 6 = 5
   Untuk y = x^2 - 2x, y(1) = (1)^2 - 2(1) = 1 - 2 = -1
   Karena 5 > -1, maka kurva y = -x^2 + 6x berada di atas kurva y = x^2 - 2x pada interval [0, 3].

3. Hitung integral:
   Luas = Integral dari [(-x^2 + 6x) - (x^2 - 2x)] dx dari 0 sampai 3
   Luas = Integral dari [-2x^2 + 8x] dx dari 0 sampai 3

   Integralkan fungsi: [-2x^3/3 + 8x^2/2] dari 0 sampai 3
   = [-2x^3/3 + 4x^2] dari 0 sampai 3

   Evaluasi pada batas atas (x=3):
   = -2(3)^3/3 + 4(3)^2
   = -2(27)/3 + 4(9)
   = -2(9) + 36
   = -18 + 36
   = 18

   Evaluasi pada batas bawah (x=0):
   = -2(0)^3/3 + 4(0)^2
   = 0

   Luas = 18 - 0 = 18

Jadi, luas daerah yang dibatasi oleh kurva y = -x^2 + 6x, y = x^2 - 2x, sumbu Y, dan garis x = 3 adalah 18 satuan luas.