Luas permukaan benda putar yang terjadi jika garis y=2x

8 * pi * sqrt(5) satuan luas

Pembahasan

Kita akan menghitung luas permukaan benda putar yang terbentuk ketika garis y = 2x pada interval [0, 2] diputar mengelilingi sumbu X.

Rumus luas permukaan benda putar yang diputar mengelilingi sumbu X adalah:
L = integral dari [2 * pi * y * ds]
dalam batas integral yang sesuai.

Di sini, y = 2x.
Kita perlu mencari ds, elemen panjang busur.
ds = sqrt(1 + (dy/dx)^2) dx

Pertama, cari turunan dy/dx:
dy/dx = d(2x)/dx = 2

Selanjutnya, hitung (dy/dx)^2:
(dy/dx)^2 = 2^2 = 4

Sekarang, hitung ds:
ds = sqrt(1 + 4) dx = sqrt(5) dx

Substitusikan y dan ds ke dalam rumus luas permukaan:
L = integral dari [2 * pi * (2x) * sqrt(5) dx]
dari x=0 sampai x=2

L = integral dari [4 * pi * sqrt(5) * x dx]
dari x=0 sampai x=2

Keluarkan konstanta dari integral:
L = 4 * pi * sqrt(5) * integral dari [x dx]
dari x=0 sampai x=2

Hitung integral dari x dx:
integral dari [x dx] = (x^2) / 2

Evaluasi integral pada batas-batasnya:
L = 4 * pi * sqrt(5) * [ (x^2) / 2 ] dari 0 sampai 2
L = 4 * pi * sqrt(5) * [ ((2^2) / 2) - ((0^2) / 2) ]
L = 4 * pi * sqrt(5) * [ (4 / 2) - 0 ]
L = 4 * pi * sqrt(5) * [ 2 ]
L = 8 * pi * sqrt(5)

Jadi, luas permukaan benda putar tersebut adalah 8 * pi * sqrt(5) satuan luas.