Lukislah DHP dari SPtLDV pada soal 3x+y<=21 x+y<=9 x+3y<=21

DHP adalah poligon di kuadran pertama yang dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, dan garis-garis $3x+y=21$, $x+y=9$, $x+3y=21$, memenuhi semua kondisi pertidaksamaan.

Pembahasan

Untuk melukis Daerah Himpunan Penyelesaian (DHP) dari Sistem Pertidaksamaan Linear Dua Variabel (SPtLDV) $3x+y \le 21$, $x+y \le 9$, $x+3y \le 21$, $x \ge 0$, dan $y \ge 0$, kita perlu mengikuti langkah-langkah berikut:

1.  **Ubah Pertidaksamaan menjadi Persamaan Garis:**
    *   $3x + y = 21$
    *   $x + y = 9$
    *   $x + 3y = 21$
    *   $x = 0$ (sumbu y)
    *   $y = 0$ (sumbu x)

2.  **Cari Titik Potong Garis dengan Sumbu Koordinat:**
    *   Untuk $3x + y = 21$:
        Jika $x=0$, maka $y=21$. Titik: $(0, 21)$.
        Jika $y=0$, maka $3x=21$, $x=7$. Titik: $(7, 0)$.
    *   Untuk $x + y = 9$:
        Jika $x=0$, maka $y=9$. Titik: $(0, 9)$.
        Jika $y=0$, maka $x=9$. Titik: $(9, 0)$.
    *   Untuk $x + 3y = 21$:
        Jika $x=0$, maka $3y=21$, $y=7$. Titik: $(0, 7)$.
        Jika $y=0$, maka $x=21$. Titik: $(21, 0)$.

3.  **Cari Titik Potong Antar Garis (jika diperlukan):**
    *   Potong $3x + y = 21$ dan $x + y = 9$:
        Kurangkan persamaan kedua dari persamaan pertama: $(3x+y) - (x+y) = 21 - 9 
        2x = 12 
        x = 6
        Substitusikan $x=6$ ke $x+y=9$: $6+y=9 
        y=3$. Titik potong: $(6, 3)$.
    *   Potong $x + y = 9$ dan $x + 3y = 21$:
        Kurangkan persamaan pertama dari persamaan kedua: $(x+3y) - (x+y) = 21 - 9 
        2y = 12 
        y = 6
        Substitusikan $y=6$ ke $x+y=9$: $x+6=9 
        x=3$. Titik potong: $(3, 6)$.
    *   Potong $3x + y = 21$ dan $x + 3y = 21$:
        Kalikan persamaan pertama dengan 3: $9x + 3y = 63$
        Kurangkan persamaan kedua: $(9x+3y) - (x+3y) = 63 - 21 
        8x = 42 
        x = 42/8 = 21/4 = 5.25
        Substitusikan $x=5.25$ ke $x+3y=21$: $5.25 + 3y = 21 
        3y = 21 - 5.25 
        3y = 15.75 
        y = 5.25$. Titik potong: $(5.25, 5.25)$.

4.  **Uji Titik untuk Menentukan Arah Arsiran:**
    Gunakan titik $(0,0)$ untuk setiap pertidaksamaan:
    *   $3x + y \le 21$: $3(0) + 0 \le 21 
        0 \le 21$ (Benar). Arsir ke arah $(0,0)$.
    *   $x + y \le 9$: $0 + 0 \le 9 
        0 \le 9$ (Benar). Arsir ke arah $(0,0)$.
    *   $x + 3y \le 21$: $0 + 3(0) \le 21 
        0 \le 21$ (Benar). Arsir ke arah $(0,0)$.
    *   $x \ge 0$: Arsir ke kanan sumbu y.
    *   $y \ge 0$: Arsir ke atas sumbu x.

5.  **Gambar Garis dan Arsiran:**
    Plot semua titik potong yang ditemukan pada sistem koordinat Kartesius. Gambar setiap garis yang menghubungkan titik-titik tersebut. Kemudian, arsir daerah yang memenuhi semua pertidaksamaan. Daerah yang akan diarsir adalah daerah yang dibatasi oleh sumbu x, sumbu y, dan ketiga garis, serta berada di sebelah kiri atau di bawah garis-garis tersebut (karena tanda "\le" dan "\ge").

    Titik-titik sudut DHP yang perlu diperhatikan adalah perpotongan garis-garis yang relevan di kuadran pertama:
    *   (0,0)
    *   (7,0) (perpotongan $3x+y=21$ dengan sumbu x)
    *   (0,7) (perpotongan $x+3y=21$ dengan sumbu y)
    *   (6,3) (perpotongan $3x+y=21$ dan $x+y=9$)
    *   (3,6) (perpotongan $x+y=9$ dan $x+3y=21$)

    DHP adalah poligon yang dibentuk oleh titik-titik ini di kuadran pertama, yang memenuhi semua kondisi pertidaksamaan.