Masing-masing relasi R di bawah ini dalam bilangan asli (A)

Ya, relasi 'x habis membagi y' adalah antisimetris karena jika x|y dan y|x, maka haruslah x=y.

Pembahasan

Soal ini meminta kita untuk mengidentifikasi apakah relasi 'x habis membagi y' pada himpunan bilangan asli bersifat antisimetris, beserta penjelasannya.

Relasi R pada himpunan A disebut antisimetris jika untuk setiap a, b ∈ A, jika (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R, maka a = b.

Dalam konteks soal ini, relasi R didefinisikan sebagai 'x habis membagi y' pada himpunan bilangan asli (A = {1, 2, 3, ...}). Ini berarti (x, y) ∈ R jika x membagi y (atau y = kx untuk suatu bilangan asli k).

Mari kita analisis sifat antisimetris:
Misalkan (a, b) ∈ R dan (b, a) ∈ R.

1. (a, b) ∈ R berarti 'a habis membagi b'. Ini bisa ditulis sebagai b = k1 * a, di mana k1 adalah bilangan asli.
2. (b, a) ∈ R berarti 'b habis membagi a'. Ini bisa ditulis sebagai a = k2 * b, di mana k2 adalah bilangan asli.

Substitusikan persamaan kedua ke persamaan pertama:
a = k2 * b
b = k1 * a

a = k2 * (k1 * a)
a = (k1 * k2) * a

Karena kita berurusan dengan bilangan asli, a ≠ 0. Kita bisa membagi kedua sisi dengan a:
1 = k1 * k2

Karena k1 dan k2 adalah bilangan asli, satu-satunya kemungkinan agar hasil perkaliannya adalah 1 adalah jika k1 = 1 dan k2 = 1.

Jika k1 = 1, maka b = 1 * a, yang berarti b = a.
Jika k2 = 1, maka a = 1 * b, yang berarti a = b.

Kedua kondisi ini (k1=1 dan k2=1) mengarah pada kesimpulan bahwa a = b.

Oleh karena itu, relasi 'x habis membagi y' pada himpunan bilangan asli memenuhi definisi relasi antisimetris.

Kesimpulan:
Relasi 'x habis membagi y' adalah relasi antisimetris.

Penjelasan: Jika x habis membagi y dan y habis membagi x pada himpunan bilangan asli, maka satu-satunya kemungkinan adalah x sama dengan y.