Matriks A=(2 a -3 -1 1 4) dan B=(4 b 2 -1 0 -a) Jika

Menyelesaikan nilai a dan b dari persamaan matriks yang diberikan, lalu menghitung A+B.

Pembahasan

Diberikan matriks $A = \begin{pmatrix} 2 & a & -3 \\ -1 & 1 & 4 \end{pmatrix}$ dan $B = \begin{pmatrix} 4 & b & 2 \\ -1 & 0 & -a \end{pmatrix}$.

Pertama, kita perlu mencari transpose dari matriks B, yaitu $B^T$. Transpose matriks diperoleh dengan menukar baris menjadi kolom atau sebaliknya.
$B^T = \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ b & 0 \\ 2 & -a \end{pmatrix}$

Selanjutnya, kita akan mengalikan matriks A dengan $B^T$. Agar perkalian matriks dapat dilakukan, jumlah kolom pada matriks pertama harus sama dengan jumlah baris pada matriks kedua. Matriks A berukuran 2x3 dan $B^T$ berukuran 3x2. Hasil perkalian $AB^T$ akan berukuran 2x2.
$AB^T = \begin{pmatrix} 2 & a & -3 \\ -1 & 1 & 4 \end{pmatrix} \begin{pmatrix} 4 & -1 \\ b & 0 \\ 2 & -a \end{pmatrix}$

Untuk menghitung elemen-elemen dari $AB^T$:
Elemen baris 1, kolom 1: $(2)(4) + (a)(b) + (-3)(2) = 8 + ab - 6 = 2 + ab$
Elemen baris 1, kolom 2: $(2)(-1) + (a)(0) + (-3)(-a) = -2 + 0 + 3a = -2 + 3a$
Elemen baris 2, kolom 1: $(-1)(4) + (1)(b) + (4)(2) = -4 + b + 8 = 4 + b$
Elemen baris 2, kolom 2: $(-1)(-1) + (1)(0) + (4)(-a) = 1 + 0 - 4a = 1 - 4a$

Jadi, $AB^T = \begin{pmatrix} 2+ab & -2+3a \\ 4+b & 1-4a \end{pmatrix}$.

Diketahui bahwa $AB^T = \begin{pmatrix} 1 & b \\ 2a+1 & -2 \end{pmatrix}$.

Dengan menyamakan elemen-elemen yang bersesuaian dari kedua matriks $AB^T$, kita dapat membentuk sistem persamaan linear:

1. $2 + ab = 1$
2. $-2 + 3a = b$
3. $4 + b = 2a + 1$
4. $1 - 4a = -2$

Dari persamaan (4), kita dapat menyelesaikan nilai 'a':
$1 - 4a = -2$
$-4a = -2 - 1$
$-4a = -3$
$a = \frac{-3}{-4} = \frac{3}{4}$

Sekarang substitusikan nilai $a = \frac{3}{4}$ ke dalam persamaan (2) untuk mencari nilai 'b':
$b = -2 + 3a$
$b = -2 + 3(\frac{3}{4})$
$b = -2 + \frac{9}{4}$
$b = -\frac{8}{4} + \frac{9}{4}$
$b = \frac{1}{4}$

Kita bisa memeriksa apakah nilai a dan b ini memenuhi persamaan (1) dan (3).
Persamaan (1): $2 + ab = 1$
$2 + (\frac{3}{4})(\frac{1}{4}) = 2 + \frac{3}{16} = \frac{32}{16} + \frac{3}{16} = \frac{35}{16}$.
Nilai ini tidak sama dengan 1. Ada kemungkinan kesalahan dalam soal atau dalam penulisan matriks $AB^T$ yang diberikan.

Mari kita periksa kembali dengan persamaan (3):
$4 + b = 2a + 1$
$4 + \frac{1}{4} = 2(\frac{3}{4}) + 1$
$\frac{16}{4} + \frac{1}{4} = \frac{6}{4} + 1$
$\frac{17}{4} = \frac{3}{2} + 1$
$\frac{17}{4} = \frac{3}{2} + \frac{2}{2}$
$\frac{17}{4} = \frac{5}{2}$
$\frac{17}{4} = \frac{10}{4}$
Nilai ini juga tidak sama. Terdapat inkonsistensi pada informasi yang diberikan pada soal.

Asumsikan ada kesalahan pengetikan pada matriks $AB^T$ dan kita gunakan nilai $a = \frac{3}{4}$ dan $b = \frac{1}{4}$ yang didapat dari persamaan (2) dan (4) karena ini adalah persamaan yang paling langsung untuk mencari nilai a dan b.

Sekarang kita perlu menghitung $A+B$:
$A+B = \begin{pmatrix} 2 & a & -3 \\ -1 & 1 & 4 \end{pmatrix} + \begin{pmatrix} 4 & b & 2 \\ -1 & 0 & -a \end{pmatrix}$
$A+B = \begin{pmatrix} 2+4 & a+b & -3+2 \\ -1+(-1) & 1+0 & 4+(-a) \end{pmatrix}$
$A+B = \begin{pmatrix} 6 & a+b & -1 \\ -2 & 1 & 4-a \end{pmatrix}$

Substitusikan nilai $a = \frac{3}{4}$ dan $b = \frac{1}{4}$:
$a+b = \frac{3}{4} + \frac{1}{4} = \frac{4}{4} = 1$
$4-a = 4 - \frac{3}{4} = \frac{16}{4} - \frac{3}{4} = \frac{13}{4}$

Jadi, $A+B = \begin{pmatrix} 6 & 1 & -1 \\ -2 & 1 & \frac{13}{4} \end{pmatrix}$.

Karena ada inkonsistensi dalam soal, hasil ini didasarkan pada penyelesaian nilai a dan b dari persamaan yang paling langsung, dan asumsi bahwa pertanyaan utama adalah menghitung A+B setelah mendapatkan nilai a dan b.