Misal terdapat matriks A dan B yang berordo 2x2 serta

I + AB = [[5, 2], [3, 3]]

Pembahasan

Diketahui matriks A dan B berordo 2x2 yang memiliki invers, serta AB = [[4, 2], [3, 2]]. Kita diminta mencari hasil dari AB(B^(-1)+A)A^(-1).

Mari kita sederhanakan ekspresi tersebut:
AB(B^(-1)+A)A^(-1)
Distribusikan AB ke dalam tanda kurung:
= AB * B^(-1) + AB * A * A^(-1)

Kita tahu bahwa B * B^(-1) = I (matriks identitas) dan A * A^(-1) = I.
= A * (B * B^(-1)) + (AB) * (A * A^(-1))
= A * I + AB * I
= A + AB

Karena AB = [[4, 2], [3, 2]], maka kita perlu mencari matriks A untuk mendapatkan A + AB.
Namun, kita tidak dapat menentukan matriks A secara unik hanya dari informasi AB. Jika yang dimaksud adalah mencari ekspresi yang disederhanakan, maka ekspresinya adalah A + AB.

Jika soal ini mengimplikasikan bahwa kita bisa menghitung nilai numerik, mungkin ada informasi yang terlewat atau ada cara lain untuk menyederhanakan yang tidak bergantung pada nilai A dan B secara individual.

Jika kita mengasumsikan bahwa soal ini meminta penyederhanaan ekspresi, maka:
AB(B^(-1)+A)A^(-1) = A(B B^(-1)) + A B A A^(-1) = AI + A I = A + A = 2A. Ini salah.

Mari kita ulangi penyederhanaan:
AB(B^(-1)+A)A^(-1)
= AB B^(-1) A^(-1) + ABA A^(-1)
= A(B B^(-1))A^(-1) + A B (A A^(-1))
= A I A^(-1) + A B I
= A A^(-1) + AB
= I + AB

Jadi, hasil dari AB(B^(-1)+A)A^(-1) adalah I + AB.

Karena AB = [[4, 2], [3, 2]], maka I + AB adalah:
I + AB = [[1, 0], [0, 1]] + [[4, 2], [3, 2]] = [[1+4, 0+2], [0+3, 1+2]] = [[5, 2], [3, 3]].

Jadi, hasil dari AB(B^(-1)+A)A^(-1) adalah matriks [[5, 2], [3, 3]].