Misalkan M adalah titik tengah sisi BC pada segitiga ABC

1

Pembahasan

Untuk mencari nilai tan sudut AMC, kita perlu menggunakan aturan sinus pada segitiga ABM dan segitiga AMC, atau menggunakan sifat-sifat segitiga.

Diketahui:
Segitiga ABC
M adalah titik tengah BC
Sudut CAB = 45 derajat
Sudut ABC = 30 derajat

Dalam segitiga ABC, jumlah sudut adalah 180 derajat.
Sudut ACB = 180 - Sudut CAB - Sudut ABC
Sudut ACB = 180 - 45 - 30
Sudut ACB = 105 derajat

Karena M adalah titik tengah BC, maka BM = MC.

Pada segitiga ABM, gunakan aturan sinus:
AM / sin(Sudut ABC) = BM / sin(Sudut BAM)
AM / sin(30) = BM / sin(Sudut BAM)
AM / (1/2) = BM / sin(Sudut BAM)
2 * AM = BM / sin(Sudut BAM)

Pada segitiga AMC, gunakan aturan sinus:
AM / sin(Sudut ACB) = MC / sin(Sudut CAM)
AM / sin(105) = MC / sin(Sudut CAM)
Karena MC = BM, dan sin(105) = sin(180-105) = sin(75):
AM / sin(75) = BM / sin(Sudut CAM)

Kita tahu Sudut BAM + Sudut CAM = Sudut CAB = 45 derajat.
Misalkan Sudut CAM = x, maka Sudut BAM = 45 - x.

Dari segitiga ABM:
2 * AM = BM / sin(45 - x)
AM = BM / (2 * sin(45 - x))

Dari segitiga AMC:
AM / sin(75) = BM / sin(x)
AM = BM * sin(75) / sin(x)

Samakan kedua persamaan untuk AM:
BM / (2 * sin(45 - x)) = BM * sin(75) / sin(x)
1 / (2 * sin(45 - x)) = sin(75) / sin(x)
sin(x) = 2 * sin(75) * sin(45 - x)

sin(x) = 2 * (sin(45)cos(30) + cos(45)sin(30)) * (sin(45)cos(x) - cos(45)sin(x))
sin(x) = 2 * ((sqrt(2)/2)(sqrt(3)/2) + (sqrt(2)/2)(1/2)) * ((sqrt(2)/2)cos(x) - (sqrt(2)/2)sin(x))
sin(x) = 2 * (sqrt(6)/4 + sqrt(2)/4) * (sqrt(2)/2) * (cos(x) - sin(x))
sin(x) = 2 * (sqrt(2)/4) * (sqrt(3) + 1) * (sqrt(2)/2) * (cos(x) - sin(x))
sin(x) = (2 * 2 / 8) * (sqrt(3) + 1) * (cos(x) - sin(x))
sin(x) = (1/2) * (sqrt(3) + 1) * (cos(x) - sin(x))
2 * sin(x) = (sqrt(3) + 1) * cos(x) - (sqrt(3) + 1) * sin(x)
2 * sin(x) + (sqrt(3) + 1) * sin(x) = (sqrt(3) + 1) * cos(x)
sin(x) * (2 + sqrt(3) + 1) = (sqrt(3) + 1) * cos(x)
sin(x) * (3 + sqrt(3)) = (sqrt(3) + 1) * cos(x)
tan(x) = sin(x) / cos(x) = (sqrt(3) + 1) / (3 + sqrt(3))

Rationalize the denominator:
tan(x) = [(sqrt(3) + 1) * (3 - sqrt(3))] / [(3 + sqrt(3)) * (3 - sqrt(3))]
tan(x) = [3*sqrt(3) - 3 + 3 - sqrt(3)] / [9 - 3]
tan(x) = [2*sqrt(3)] / 6
tan(x) = sqrt(3) / 3

So, tan(Sudut CAM) = sqrt(3) / 3. This means Sudut CAM = 30 derajat.

Jika Sudut CAM = 30 derajat, maka Sudut BAM = 45 - 30 = 15 derajat.

Sekarang kita bisa mencari tan(Sudut AMC).
Pada segitiga ABM:
Sudut AMB = 180 - Sudut ABC - Sudut BAM
Sudut AMB = 180 - 30 - 15
Sudut AMB = 135 derajat.

Sudut AMC adalah pelurus dari Sudut AMB.
Sudut AMC = 180 - Sudut AMB
Sudut AMC = 180 - 135
Sudut AMC = 45 derajat.

Maka, tan(Sudut AMC) = tan(45) = 1.

Mari kita cek dengan menggunakan segitiga AMC:
Sudut ACM = 105 derajat
Sudut CAM = 30 derajat
Sudut AMC = 180 - 105 - 30 = 45 derajat.

Ini konsisten. Jadi, tan(Sudut AMC) = 1.