Misalkan m dan n adalah bilangan bulat positif yang

200

Pembahasan

Diberikan persamaan 1/m + 1/n = 4/7, di mana m dan n adalah bilangan bulat positif.
Untuk menyelesaikan persamaan ini, kita bisa menggabungkan pecahan di sisi kiri:
(n + m) / (mn) = 4/7

Sekarang, kita lakukan perkalian silang:
7(n + m) = 4mn
7n + 7m = 4mn

Untuk mencari solusi bilangan bulat, kita bisa mengatur ulang persamaan ini menjadi bentuk yang dapat difaktorkan. Salah satu cara adalah dengan menggunakan metode Simon's Favorite Factoring Trick, yaitu dengan menambahkan konstanta pada kedua sisi sehingga salah satu sisi menjadi hasil kali dua binomial.

Kita ingin mendapatkan bentuk seperti (am + b)(an + c) = d.
Mari kita atur ulang persamaan menjadi:
4mn - 7m - 7n = 0

Kita ingin membuat koefisien m dan n pada faktornya sama dengan koefisien di persamaan. Kita bisa kalikan seluruh persamaan dengan 4 untuk mendapatkan koefisien 16mn:
16mn - 28m - 28n = 0

Sekarang, kita coba faktorkan:
(4m - 7)(4n - 7) = ?
(4m - 7)(4n - 7) = 16mn - 28m - 28n + 49

Jadi, kita punya:
16mn - 28m - 28n = 0

Substitusikan ke dalam bentuk faktorisasi:
(4m - 7)(4n - 7) - 49 = 0
(4m - 7)(4n - 7) = 49

Karena m dan n adalah bilangan bulat positif, maka 4m - 7 dan 4n - 7 juga harus merupakan faktor dari 49.
Faktor-faktor dari 49 adalah: (1, 49), (7, 7), (49, 1), (-1, -49), (-7, -7), (-49, -1).

Kita juga tahu bahwa m dan n adalah bilangan bulat positif. Mari kita periksa setiap pasangan faktor:

Kasus 1: 4m - 7 = 1 dan 4n - 7 = 49
4m = 8 => m = 2
4n = 56 => n = 14
Periksa: 1/2 + 1/14 = 7/14 + 1/14 = 8/14 = 4/7. Ini adalah solusi yang valid.

Kasus 2: 4m - 7 = 7 dan 4n - 7 = 7
4m = 14 => m = 14/4 = 3.5 (Bukan bilangan bulat, jadi tidak valid)

Kasus 3: 4m - 7 = 49 dan 4n - 7 = 1
4m = 56 => m = 14
4n = 8 => n = 2
Periksa: 1/14 + 1/2 = 1/14 + 7/14 = 8/14 = 4/7. Ini adalah solusi yang valid.

Kasus 4: Faktor negatif.
Jika 4m - 7 = -1, maka 4m = 6 => m = 1.5 (Bukan bilangan bulat).
Jika 4m - 7 = -7, maka 4m = 0 => m = 0 (Bukan bilangan bulat positif).
Jika 4m - 7 = -49, maka 4m = -42 => m = -10.5 (Bukan bilangan bulat positif).

Jadi, solusi bilangan bulat positif untuk (m, n) adalah (2, 14) dan (14, 2).

Kita perlu mencari nilai m^2 + n^2.
Jika m = 2 dan n = 14:
m^2 + n^2 = 2^2 + 14^2 = 4 + 196 = 200.

Jika m = 14 dan n = 2:
m^2 + n^2 = 14^2 + 2^2 = 196 + 4 = 200.

Dalam kedua kasus, nilai m^2 + n^2 adalah sama.