Misalkan titik A(x,y) diputar dengan pusat O(0, 0) dan

Formula komposisi rotasi dengan pusat yang sama adalah rotasi tunggal dengan sudut yang merupakan jumlah dari sudut-sudut rotasi masing-masing.

Pembahasan

Komposisi rotasi dengan pusat yang sama adalah rotasi tunggal dengan sudut rotasi yang merupakan jumlah dari sudut-sudut rotasi masing-masing. Jika titik A(x, y) diputar dengan pusat O(0, 0) dan sudut \(\alpha\) menghasilkan bayangan A'(x', y'), maka:

x' = x cos \(\alpha\) - y sin \(\alpha\)
y' = x sin \(\alpha\) + y cos \(\alpha\)

Jika bayangan A'(x', y') kemudian diputar lagi dengan pusat O(0, 0) dan sudut \(\beta\) menghasilkan bayangan A"(x", y"), maka:

x" = x' cos \(\beta\) - y' sin \(\beta\)
y" = x' sin \(\beta\) + y' cos \(\beta\)

Mengganti x' dan y' dari persamaan pertama ke persamaan kedua, dan menyederhanakan menggunakan identitas trigonometri seperti cos(\(\alpha\) + \(\beta\)) = cos \(\alpha\) cos \(\beta\) - sin \(\alpha\) sin \(\beta\) dan sin(\(\alpha\) + \(\beta\)) = sin \(\alpha\) cos \(\beta\) + cos \(\alpha\) sin \(\beta\), kita akan mendapatkan formula komposisi rotasi:

x" = x cos(\(\alpha\) + \(\beta\)) - y sin(\(\alpha\) + \(\beta\))
y" = x sin(\(\alpha\) + \(\beta\)) + y cos(\(\alpha\) + \(\beta\))

Jadi, komposisi dua rotasi dengan pusat yang sama adalah rotasi tunggal dengan sudut yang merupakan jumlah dari sudut-sudut rotasi tersebut.