Nilai 2(sin 50 cos 40+cos 80 sin 70)=....

3/2

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri.

Nilai yang diberikan adalah: 2(sin 50° cos 40° + cos 80° sin 70°)

Kita dapat menggunakan identitas penjumlahan sudut:
sin(A + B) = sin A cos B + cos A sin B
sin(A - B) = sin A cos B - cos A sin B
cos(A + B) = cos A cos B - sin A sin B
cos(A - B) = cos A cos B + sin A sin B

Perhatikan suku pertama: sin 50° cos 40°.
Kita tahu bahwa cos 40° = sin(90° - 40°) = sin 50°.
Jadi, sin 50° cos 40° = sin 50° sin 50° = sin² 50°.

Perhatikan suku kedua: cos 80° sin 70°.
Kita tahu bahwa cos 80° = sin(90° - 80°) = sin 10°.
Kita tahu bahwa sin 70° = cos(90° - 70°) = cos 20°.
Atau, kita bisa gunakan identitas lain.

Mari kita coba pendekatan lain menggunakan identitas perkalian ke penjumlahan:
2 sin A cos B = sin(A + B) + sin(A - B)
2 cos A sin B = sin(A + B) - sin(A - B)

Soal ini dapat diselesaikan dengan lebih mudah menggunakan identitas sudut berelasi dan identitas jumlah dan selisih sinus/cosinus.

Mari kita gunakan identitas:
sin(A+B) = sin A cos B + cos A sin B
cos(A+B) = cos A cos B - sin A sin B

Nilai 2(sin 50° cos 40° + cos 80° sin 70°)

Kita bisa ubah: cos 40° = sin(90° - 40°) = sin 50°
Kita bisa ubah: cos 80° = sin(90° - 80°) = sin 10°
Kita bisa ubah: sin 70° = cos(90° - 70°) = cos 20°

Maka ekspresi menjadi: 2(sin 50° sin 50° + sin 10° cos 20°)
Ini masih belum sederhana.

Mari kita coba identitas perkalian ke penjumlahan:
sin A cos B = 1/2 [sin(A+B) + sin(A-B)]
cos A sin B = 1/2 [sin(A+B) - sin(A-B)]

Untuk sin 50° cos 40°:
A = 50°, B = 40°
sin 50° cos 40° = 1/2 [sin(50°+40°) + sin(50°-40°)]
= 1/2 [sin 90° + sin 10°]
= 1/2 [1 + sin 10°]

Untuk cos 80° sin 70°:
A = 80°, B = 70°
cos 80° sin 70° = 1/2 [sin(80°+70°) - sin(80°-70°)]
= 1/2 [sin 150° - sin 10°]
= 1/2 [sin(180°-30°) - sin 10°]
= 1/2 [sin 30° - sin 10°]
= 1/2 [1/2 - sin 10°]

Sekarang substitusikan kembali ke ekspresi awal:
2(sin 50° cos 40° + cos 80° sin 70°)
= 2 [ 1/2 (1 + sin 10°) + 1/2 (1/2 - sin 10°) ]
= 2 [ 1/2 + 1/2 sin 10° + 1/4 - 1/2 sin 10° ]
= 2 [ 1/2 + 1/4 ]
= 2 [ 2/4 + 1/4 ]
= 2 [ 3/4 ]
= 3/2

Jawaban akhirnya adalah 3/2.