Nilai a yang memenuhi integral -1 a x(x+1)^5 dx=1/42 adalah

Solusi aljabar sulit ditemukan, perlu analisis lebih lanjut atau klarifikasi soal.

Pembahasan

Untuk menemukan nilai 'a' yang memenuhi integral -1 sampai a dari x(x+1)^5 dx = 1/42, kita perlu menyelesaikan integral tentu tersebut.
Pertama, kita ekspansi (x+1)^5 menggunakan teorema binomial:
(x+1)^5 = x^5 + 5x^4 + 10x^3 + 10x^2 + 5x + 1
Kemudian kalikan dengan x:
x(x+1)^5 = x^6 + 5x^5 + 10x^4 + 10x^3 + 5x^2 + x
Sekarang, kita integralkan fungsi ini:
Integral dari (x^6 + 5x^5 + 10x^4 + 10x^3 + 5x^2 + x) dx = (x^7/7) + (5x^6/6) + (10x^5/5) + (10x^4/4) + (5x^3/3) + (x^2/2)
= (x^7/7) + (5x^6/6) + 2x^5 + (5x^4/2) + (5x^3/3) + (x^2/2)
Sekarang kita evaluasi integral tentu dari -1 sampai a:
[(a^7/7) + (5a^6/6) + 2a^5 + (5a^4/2) + (5a^3/3) + (a^2/2)] - [((-1)^7/7) + (5(-1)^6/6) + 2(-1)^5 + (5(-1)^4/2) + (5(-1)^3/3) + ((-1)^2/2)]
= [(a^7/7) + (5a^6/6) + 2a^5 + (5a^4/2) + (5a^3/3) + (a^2/2)] - [(-1/7) + (5/6) - 2 + (5/2) - (5/3) + (1/2)]
Kita tahu bahwa hasil integral ini adalah 1/42.
Mari kita sederhanakan bagian kedua:
-1/7 + 5/6 - 2 + 5/2 - 5/3 + 1/2
Samakan penyebutnya menjadi 42:
-6/42 + 35/42 - 84/42 + 105/42 - 70/42 + 21/42 = ( -6 + 35 - 84 + 105 - 70 + 21 ) / 42 = ( 161 - 160 ) / 42 = 1/42.
Jadi, kita memiliki:
[(a^7/7) + (5a^6/6) + 2a^5 + (5a^4/2) + (5a^3/3) + (a^2/2)] - (1/42) = 1/42
(a^7/7) + (5a^6/6) + 2a^5 + (5a^4/2) + (5a^3/3) + (a^2/2) = 2/42 = 1/21
Persamaan ini sulit diselesaikan secara aljabar untuk 'a'. Namun, jika kita perhatikan bahwa integral dari -1 sampai 0 dari x(x+1)^5 dx, kita bisa mengevaluasinya.
Mari kita coba dengan substitusi u = x+1, maka du = dx, dan x = u-1.
Batas integral: jika x = -1, u = 0. jika x = a, u = a+1.
Integral menjadi integral dari 0 sampai a+1 dari (u-1)u^5 du
= integral dari 0 sampai a+1 dari (u^6 - u^5) du
= [u^7/7 - u^6/6] dari 0 sampai a+1
= ((a+1)^7/7 - (a+1)^6/6) - (0^7/7 - 0^6/6)
= (a+1)^7/7 - (a+1)^6/6
Kita setarakan ini dengan 1/42:
(a+1)^7/7 - (a+1)^6/6 = 1/42
Samakan penyebut menjadi 42:
6(a+1)^7/42 - 7(a+1)^6/42 = 1/42
6(a+1)^7 - 7(a+1)^6 = 1
Faktorkan (a+1)^6:
(a+1)^6 [6(a+1) - 7] = 1
(a+1)^6 [6a + 6 - 7] = 1
(a+1)^6 [6a - 1] = 1
Sekarang kita perlu mencari nilai 'a' yang memenuhi persamaan ini. Jika kita coba a = 0:
(0+1)^6 [6(0) - 1] = 1^6 * (-1) = -1 (tidak sama dengan 1)
Jika kita coba a = 1:
(1+1)^6 [6(1) - 1] = 2^6 * 5 = 64 * 5 = 320 (tidak sama dengan 1)
Perhatikan kembali integral awal: integral -1 a x(x+1)^5 dx = 1/42. Jika a = 0, maka integralnya adalah integral -1 sampai 0 x(x+1)^5 dx.
Menggunakan hasil substitusi: [u^7/7 - u^6/6] dari 0 sampai 1.
= (1^7/7 - 1^6/6) - (0)
= 1/7 - 1/6 = 6/42 - 7/42 = -1/42.
Ini tidak sesuai dengan 1/42. Ada kemungkinan kesalahan dalam soal atau pilihan jawaban jika ini adalah soal pilihan ganda.

Mari kita coba cek kembali perhitungan integral tentu dari -1 sampai a.
F(x) = (x^7/7) + (5x^6/6) + 2x^5 + (5x^4/2) + (5x^3/3) + (x^2/2)
F(a) - F(-1) = 1/42
Kita sudah hitung F(-1) = 1/42.
Jadi, F(a) - 1/42 = 1/42
F(a) = 2/42 = 1/21
(a^7/7) + (5a^6/6) + 2a^5 + (5a^4/2) + (5a^3/3) + (a^2/2) = 1/21
Perhatikan bahwa jika kita substitusi u = x+1, maka x = u-1. Integral dari -1 sampai a dari x(x+1)^5 dx = Integral dari 0 sampai a+1 dari (u-1)u^5 du.
= Integral dari 0 sampai a+1 dari (u^6 - u^5) du
= [u^7/7 - u^6/6] dari 0 sampai a+1
= (a+1)^7/7 - (a+1)^6/6.
Kita ingin ini sama dengan 1/42.
(a+1)^7/7 - (a+1)^6/6 = 1/42
Kalikan dengan 42:
6(a+1)^7 - 7(a+1)^6 = 1
(a+1)^6 [6(a+1) - 7] = 1
(a+1)^6 [6a + 6 - 7] = 1
(a+1)^6 [6a - 1] = 1
Jika kita perhatikan bentuknya, ini adalah persamaan polinomial derajat 7. Mencari solusi eksak bisa sangat sulit.
Namun, jika ada kemungkinan soalnya adalah integral dari 0 sampai a, atau ada kesalahan ketik.
Jika kita asumsikan a=0, maka integral dari -1 sampai 0 adalah -1/42. Ini bukan 1/42.
Jika kita asumsikan soalnya benar dan ada nilai 'a' yang memenuhi, kita perlu mencari nilai 'a' tersebut.
Mari kita cek jika ada nilai 'a' yang membuat kedua faktor menjadi 1 atau -1.
Jika (a+1)^6 = 1, maka a+1 = 1 atau a+1 = -1. Jadi a=0 atau a=-2.
Jika a=0, 6a-1 = -1. (1)^6 * (-1) = -1. Tidak cocok.
Jika a=-2, 6a-1 = 6(-2)-1 = -12-1 = -13. (-1)^6 * (-13) = 1 * (-13) = -13. Tidak cocok.
Jika 6a-1 = 1, maka 6a = 2, a = 1/3. Maka (a+1)^6 = (1/3 + 1)^6 = (4/3)^6. (4/3)^6 * 1 tidak sama dengan 1.
Jika 6a-1 = -1, maka 6a = 0, a = 0. Maka (a+1)^6 = (1)^6 = 1. 1 * (-1) = -1. Tidak cocok.

Kemungkinan besar ada kesalahan dalam soal atau pilihan jawaban. Namun, jika kita harus memberikan jawaban berdasarkan perhitungan substitusi:
(a+1)^6 (6a - 1) = 1.
Tanpa informasi tambahan atau pilihan jawaban, sulit untuk menentukan nilai 'a' secara pasti.
Namun, jika kita lihat bahwa integral dari -1 sampai 0 adalah -1/42, dan kita ingin hasil 1/42, kemungkinan nilai 'a' harus membuat F(a) lebih besar dari F(-1).
Perlu dicatat bahwa dalam konteks ujian, jika ada kesalahan dalam soal, seringkali instruktur akan mengklarifikasi atau membatalkan soal tersebut.
Jika kita diminta mencari nilai 'a' yang memenuhi secara numerik, kita bisa menggunakan metode numerik. Namun, untuk soal tipe ini, biasanya ada solusi aljabar yang jelas.
Dengan asumsi ada kesalahan ketik dan soal seharusnya mengarah pada solusi yang lebih sederhana, atau ada properti integral yang terlewat. Namun, berdasarkan perhitungan langsung, persamaan yang dihasilkan adalah (a+1)^6 (6a - 1) = 1.