Nilai dari cos (pi/5) cos (2pi/5) cos (4pi/5) cos (8pi/5)

Nilai dari ekspresi tersebut adalah -1/16.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal ini, kita perlu menggunakan identitas trigonometri.

Misalkan P = cos (pi/5) cos (2pi/5) cos (4pi/5) cos (8pi/5).

Kita tahu bahwa cos(theta) = cos(2pi - theta).
Maka, cos (8pi/5) = cos (2pi - 8pi/5) = cos (10pi/5 - 8pi/5) = cos (2pi/5).

Sehingga, P = cos (pi/5) cos (2pi/5) cos (4pi/5) cos (2pi/5).
P = cos (pi/5) [cos (2pi/5)]^2 cos (4pi/5).

Ini masih terlihat rumit. Mari kita coba pendekatan lain.

Kita tahu bahwa sin(2theta) = 2 sin(theta) cos(theta), sehingga cos(theta) = sin(2theta) / (2 sin(theta)).

Mari kita kalikan P dengan 16 sin(pi/5):
16 sin(pi/5) P = 16 sin(pi/5) cos(pi/5) cos(2pi/5) cos(4pi/5) cos(8pi/5)
= 8 [2 sin(pi/5) cos(pi/5)] cos(2pi/5) cos(4pi/5) cos(8pi/5)
= 8 sin(2pi/5) cos(2pi/5) cos(4pi/5) cos(8pi/5)
= 4 [2 sin(2pi/5) cos(2pi/5)] cos(4pi/5) cos(8pi/5)
= 4 sin(4pi/5) cos(4pi/5) cos(8pi/5)
= 2 [2 sin(4pi/5) cos(4pi/5)] cos(8pi/5)
= 2 sin(8pi/5) cos(8pi/5)
= sin(16pi/5)

Jadi, 16 sin(pi/5) P = sin(16pi/5).

Sekarang kita perlu menyederhanakan sin(16pi/5).
16pi/5 = 15pi/5 + pi/5 = 3pi + pi/5.
Karena sin(theta + 3pi) = -sin(theta),
maka sin(16pi/5) = sin(3pi + pi/5) = -sin(pi/5).

Sehingga, 16 sin(pi/5) P = -sin(pi/5).

Karena sin(pi/5) tidak sama dengan nol, kita bisa membagi kedua sisi dengan sin(pi/5):
16 P = -1
P = -1/16.

Jadi, nilai dari cos (pi/5) cos (2pi/5) cos (4pi/5) cos (8pi/5) adalah -1/16.