Nilai dari lim x->0 (sin 3x-sin 3x cos 2x)/2x^3 =..

Nilai limitnya adalah 3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan menggunakan identitas trigonometri dan aturan L'Hopital jika diperlukan.

Limit yang diberikan adalah: lim x->0 (sin 3x - sin 3x cos 2x) / 2x^3

Langkah 1: Faktorkan ekspresi di pembilang.
Kita bisa memfaktorkan sin 3x:
sin 3x (1 - cos 2x)

Gunakan identitas trigonometri 1 - cos(2θ) = 2 sin^2(θ).
Dalam kasus ini, θ = x, jadi 1 - cos 2x = 2 sin^2 x.

Maka, pembilangnya menjadi: sin 3x * (2 sin^2 x)

Limit sekarang menjadi: lim x->0 [sin 3x * 2 sin^2 x] / 2x^3

Langkah 2: Pisahkan limit menggunakan sifat limit.
lim x->0 [2 * sin 3x * sin^2 x] / 2x^3
= lim x->0 [sin 3x * sin^2 x] / x^3
= lim x->0 [sin 3x / x] * [sin^2 x / x^2]

Kita tahu bahwa lim x->0 (sin ax / ax) = 1 dan lim x->0 (sin x / x) = 1.
Untuk membuat bentuknya sesuai, kita perlu menyesuaikan penyebutnya.

lim x->0 [sin 3x / x] = lim x->0 [sin 3x / (3x) * 3] = 1 * 3 = 3

lim x->0 [sin^2 x / x^2] = lim x->0 [(sin x / x) * (sin x / x)] = 1 * 1 = 1

Jadi, limitnya adalah hasil perkalian dari kedua limit tersebut:
Limit = (lim x->0 [sin 3x / x]) * (lim x->0 [sin^2 x / x^2])
Limit = 3 * 1
Limit = 3

Alternatif menggunakan Aturan L'Hopital (jika bentuknya 0/0):
Jika kita substitusi x=0 langsung, kita mendapatkan sin(0) - sin(0)cos(0) = 0 - 0*1 = 0. Penyebutnya 2(0)^3 = 0. Jadi, bentuknya 0/0, kita bisa gunakan L'Hopital.

Turunan pembilang: d/dx (sin 3x - sin 3x cos 2x)
= d/dx (sin 3x) - d/dx (sin 3x cos 2x)
= 3 cos 3x - [ (3 cos 3x)(cos 2x) + (sin 3x)(-2 sin 2x) ]
= 3 cos 3x - 3 cos 3x cos 2x + 2 sin 3x sin 2x

Turunan penyebut: d/dx (2x^3) = 6x^2

Limit setelah L'Hopital pertama: lim x->0 [3 cos 3x - 3 cos 3x cos 2x + 2 sin 3x sin 2x] / 6x^2
Substitusi x=0: (3*1 - 3*1*1 + 2*0*0) / 0 = 0/0. Gunakan L'Hopital lagi.

Turunan pembilang kedua: d/dx [3 cos 3x - 3 cos 3x cos 2x + 2 sin 3x sin 2x]
= d/dx(3 cos 3x) - d/dx(3 cos 3x cos 2x) + d/dx(2 sin 3x sin 2x)
= -9 sin 3x - [ (-9 sin 3x)(cos 2x) + (3 cos 3x)(-2 sin 2x) ] + [ (6 cos 3x)(sin 2x) + (2 sin 3x)(2 cos 2x) ]
= -9 sin 3x + 9 sin 3x cos 2x - 6 cos 3x sin 2x + 6 cos 3x sin 2x + 4 sin 3x cos 2x
= -9 sin 3x + 13 sin 3x cos 2x

Turunan penyebut kedua: d/dx (6x^2) = 12x

Limit setelah L'Hopital kedua: lim x->0 [-9 sin 3x + 13 sin 3x cos 2x] / 12x
Substitusi x=0: (0+0)/0 = 0/0. Gunakan L'Hopital lagi.

Turunan pembilang ketiga: d/dx [-9 sin 3x + 13 sin 3x cos 2x]
= -27 cos 3x + [ (39 cos 3x)(cos 2x) + (13 sin 3x)(-2 sin 2x) ]
= -27 cos 3x + 39 cos 3x cos 2x - 26 sin 3x sin 2x

Turunan penyebut ketiga: d/dx (12x) = 12

Limit setelah L'Hopital ketiga: lim x->0 [-27 cos 3x + 39 cos 3x cos 2x - 26 sin 3x sin 2x] / 12
Substitusi x=0:
= [-27 cos(0) + 39 cos(0) cos(0) - 26 sin(0) sin(0)] / 12
= [-27(1) + 39(1)(1) - 26(0)(0)] / 12
= [-27 + 39 - 0] / 12
= 12 / 12
= 1

Terdapat kesalahan dalam perhitungan L'Hopital saya. Mari kita kembali ke metode faktorisasi yang lebih sederhana.

Limit = lim x->0 [sin 3x * 2 sin^2 x] / 2x^3
= lim x->0 [sin 3x / x] * [sin^2 x / x^2]

Kita perlu mengalikan dan membagi dengan konstanta yang tepat agar sesuai dengan bentuk lim (sin u / u).

lim x->0 [sin 3x / x] = lim x->0 [ (sin 3x / 3x) * 3 ] = 1 * 3 = 3

lim x->0 [sin^2 x / x^2] = lim x->0 [ (sin x / x)^2 ] = 1^2 = 1

Jadi, hasil akhirnya adalah 3 * 1 = 3.

Mari kita periksa kembali perhitungan L'Hopital dengan hati-hati.

Limit: lim x->0 (sin 3x - sin 3x cos 2x) / 2x^3
= lim x->0 sin(3x)(1 - cos(2x)) / 2x^3
= lim x->0 sin(3x) * (2 sin^2(x)) / 2x^3
= lim x->0 sin(3x) * sin^2(x) / x^3
= lim x->0 (sin(3x) / x) * (sin^2(x) / x^2)
= lim x->0 (sin(3x) / 3x) * 3 * (sin(x) / x)^2
= 1 * 3 * 1^2
= 3

Nilai dari limit tersebut adalah 3.