Nilai dari limit x -> 0 4x cos x/(sin x+sin 3x) adalah ....

1

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Metode 1: Aturan L'Hopital
Karena substitusi langsung x=0 menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital, yaitu menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah.

Turunan pembilang (4x cos x) terhadap x:
d/dx (4x cos x) = 4 cos x + 4x (-sin x) = 4 cos x - 4x sin x

Turunan penyebut (sin x + sin 3x) terhadap x:
d/dx (sin x + sin 3x) = cos x + 3 cos 3x

Sekarang, kita substitusikan kembali x=0 ke dalam turunan:
Limit = (4 cos 0 - 4(0) sin 0) / (cos 0 + 3 cos (3*0))
Limit = (4 * 1 - 0) / (1 + 3 * 1)
Limit = 4 / (1 + 3)
Limit = 4 / 4
Limit = 1

Metode 2: Manipulasi Aljabar
Limit x -> 0 4x cos x / (sin x + sin 3x)
Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan x:
Limit x -> 0 (4 cos x) / (sin x / x + sin 3x / x)

Kita tahu bahwa Limit x -> 0 (sin ax / x) = a.
Untuk suku sin 3x / x, kita bisa mengubahnya menjadi 3 * (sin 3x / 3x).

Limit x -> 0 (4 cos x) / (sin x / x + 3 * (sin 3x / 3x))

Sekarang substitusikan x=0:
Limit = (4 cos 0) / (1 + 3 * 1)
Limit = (4 * 1) / (1 + 3)
Limit = 4 / 4
Limit = 1

Jadi, nilai dari limit x -> 0 4x cos x / (sin x + sin 3x) adalah 1.