Nilai dari limit x -> 2 (x^3-8)/(x^2+x-6) =

12/5

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit x → 2 (x³ - 8) / (x² + x - 6), pertama kita substitusikan x = 2 ke dalam fungsi tersebut:
Pembilang: 2³ - 8 = 8 - 8 = 0
Penyebut: 2² + 2 - 6 = 4 + 2 - 6 = 0
Karena hasil substitusi adalah bentuk tak tentu 0/0, kita perlu menyederhanakan fungsi tersebut. Kita bisa menggunakan faktorisasi atau aturan L'Hopital.

Metode Faktorisasi:
Faktorkan pembilang (x³ - 8) sebagai selisih kubik: x³ - 2³ = (x - 2)(x² + 2x + 4).
Faktorkan penyebut (x² + x - 6). Kita cari dua bilangan yang jika dikalikan menghasilkan -6 dan jika dijumlahkan menghasilkan 1. Bilangan tersebut adalah 3 dan -2. Jadi, x² + x - 6 = (x + 3)(x - 2).

Sekarang, substitusikan kembali ke dalam limit:
lim x→2 [(x - 2)(x² + 2x + 4)] / [(x + 3)(x - 2)]
Kita bisa mencoret (x - 2) karena x → 2 berarti x ≠ 2.

lim x→2 (x² + 2x + 4) / (x + 3)
Sekarang substitusikan x = 2:
(2² + 2*2 + 4) / (2 + 3)
(4 + 4 + 4) / 5
12 / 5

Metode Aturan L'Hopital:
Karena bentuknya 0/0, kita bisa menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah:
Turunan pembilang (x³ - 8) adalah 3x².
Turunan penyebut (x² + x - 6) adalah 2x + 1.

Sekarang, hitung limit dari hasil turunan:
lim x→2 (3x²) / (2x + 1)
Substitusikan x = 2:
(3 * 2²) / (2 * 2 + 1)
(3 * 4) / (4 + 1)
12 / 5