Nilai dari ekspresi lim x->0 (1-cos^2 2x)/(x sin2x)

Nilai limitnya adalah 2.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit \( \lim_{x \to 0} \frac{1 - \cos^2 2x}{x \sin 2x} \), kita dapat menggunakan identitas trigonometri dan sifat limit.

1.  **Gunakan Identitas Trigonometri:** Ingat identitas \( \sin^2 \theta + \cos^2 \theta = 1 \). Dari sini, kita dapat menurunkan identitas \( \sin^2 \theta = 1 - \cos^2 \theta \).
    Dengan mengganti \( \theta \) dengan \( 2x \), kita peroleh \( \sin^2 2x = 1 - \cos^2 2x \).

2.  **Substitusikan ke dalam Ekspresi Limit:**
    Ekspresi limit menjadi: \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin^2 2x}{x \sin 2x} \).

3.  **Sederhanakan Ekspresi:**
    Kita bisa membatalkan satu faktor \( \sin 2x \) di pembilang dan penyebut (karena \( x \to 0 \), maka \( \sin 2x \) tidak sama dengan nol):
    \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \).

4.  **Gunakan Sifat Limit Standar:** Kita tahu bahwa \( \lim_{\theta \to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1 \).
    Agar sesuai dengan bentuk ini, kita perlu \( 2x \) di penyebut. Kita bisa memanipulasi ekspresi dengan mengalikan dan membagi dengan 2:
    \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} = \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{x} \times \frac{2}{2} \).

5.  **Kelompokkan untuk Menggunakan Sifat Limit:**
    \( = \lim_{x \to 0} 2 \times \frac{\sin 2x}{2x} \).

6.  **Terapkan Sifat Limit:**
    Karena \( x \to 0 \), maka \( 2x \to 0 \). Jadi, \( \lim_{x \to 0} \frac{\sin 2x}{2x} = 1 \).
    Limitnya menjadi: \( 2 \times 1 = 2 \).

Jadi, nilai dari ekspresi limit tersebut adalah 2.