Kelas 11Kelas 12mathKalkulus
Nilai dari limit x->pi/2 (cos 3x + tan 2x)/sin x =
Pertanyaan
Nilai dari limit x->pi/2 (cos 3x + tan 2x)/sin x =
Solusi
Verified
Nilai limitnya adalah 0.
Pembahasan
Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan mengevaluasi fungsi saat x mendekati pi/2. Fungsi yang diberikan adalah (cos(3x) + tan(2x)) / sin(x). Langkah 1: Substitusi langsung nilai x = pi/2 ke dalam fungsi. Jika kita substitusikan x = pi/2 secara langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu. Bagian pembilang: cos(3 * pi/2) = cos(3pi/2) = 0 tan(2 * pi/2) = tan(pi) = 0 Jadi, pembilang = 0 + 0 = 0. Bagian penyebut: sin(pi/2) = 1. Karena penyebutnya bukan nol, substitusi langsung menghasilkan 0/1 = 0. Namun, kita perlu berhati-hati karena ada tan(2x) di pembilang, yang bisa menyebabkan masalah saat 2x mendekati pi/2, 3pi/2, dst. Namun, di sini x mendekati pi/2, sehingga 2x mendekati pi, di mana tan(pi) terdefinisi dan bernilai 0. Mari kita periksa kembali turunan jika diperlukan. Metode L'Hopital dapat digunakan jika kita mendapatkan bentuk 0/0 atau tak hingga/tak hingga. Dalam kasus ini, saat x -> pi/2: cos(3x) -> cos(3pi/2) = 0 tan(2x) -> tan(pi) = 0 sin(x) -> sin(pi/2) = 1 Jadi, limitnya adalah (0 + 0) / 1 = 0. Mari kita pastikan tidak ada kesalahan interpretasi atau penggunaan aturan L'Hopital yang tidak perlu. Fungsi: f(x) = (cos(3x) + tan(2x)) / sin(x) Saat x mendekati pi/2: cos(3x) mendekati cos(3pi/2) = 0. Untuk tan(2x), kita bisa menuliskannya sebagai sin(2x)/cos(2x). Jadi, limitnya adalah lim (x->pi/2) [cos(3x) + sin(2x)/cos(2x)] / sin(x). Saat x mendekati pi/2: cos(2x) mendekati cos(pi) = -1. sin(2x) mendekati sin(pi) = 0. Jadi, tan(2x) mendekati 0 / -1 = 0. Pembilang: cos(3x) + tan(2x) mendekati 0 + 0 = 0. Penyebut: sin(x) mendekati sin(pi/2) = 1. Jadi, limitnya adalah 0/1 = 0. Tidak perlu menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya bukan tak tentu setelah evaluasi. Nilai limitnya adalah 0.
Buka akses pembahasan jawaban
Topik: Limit Fungsi
Section: Limit Fungsi Trigonometri
Apakah jawaban ini membantu?