Nilai dari limit x->pi/2 (cos 3x + tan 2x)/sin x =

Nilai limitnya adalah 0.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita akan mengevaluasi fungsi saat x mendekati pi/2. Fungsi yang diberikan adalah (cos(3x) + tan(2x)) / sin(x).

Langkah 1: Substitusi langsung nilai x = pi/2 ke dalam fungsi.
Jika kita substitusikan x = pi/2 secara langsung, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu.

Bagian pembilang:
cos(3 * pi/2) = cos(3pi/2) = 0
tan(2 * pi/2) = tan(pi) = 0
Jadi, pembilang = 0 + 0 = 0.

Bagian penyebut:
sin(pi/2) = 1.

Karena penyebutnya bukan nol, substitusi langsung menghasilkan 0/1 = 0. Namun, kita perlu berhati-hati karena ada tan(2x) di pembilang, yang bisa menyebabkan masalah saat 2x mendekati pi/2, 3pi/2, dst. Namun, di sini x mendekati pi/2, sehingga 2x mendekati pi, di mana tan(pi) terdefinisi dan bernilai 0.

Mari kita periksa kembali turunan jika diperlukan. Metode L'Hopital dapat digunakan jika kita mendapatkan bentuk 0/0 atau tak hingga/tak hingga.

Dalam kasus ini, saat x -> pi/2:
cos(3x) -> cos(3pi/2) = 0
tan(2x) -> tan(pi) = 0
sin(x) -> sin(pi/2) = 1

Jadi, limitnya adalah (0 + 0) / 1 = 0.

Mari kita pastikan tidak ada kesalahan interpretasi atau penggunaan aturan L'Hopital yang tidak perlu.

Fungsi: f(x) = (cos(3x) + tan(2x)) / sin(x)
Saat x mendekati pi/2:
cos(3x) mendekati cos(3pi/2) = 0.
Untuk tan(2x), kita bisa menuliskannya sebagai sin(2x)/cos(2x).
Jadi, limitnya adalah lim (x->pi/2) [cos(3x) + sin(2x)/cos(2x)] / sin(x).

Saat x mendekati pi/2:
cos(2x) mendekati cos(pi) = -1.
sin(2x) mendekati sin(pi) = 0.
Jadi, tan(2x) mendekati 0 / -1 = 0.

Pembilang: cos(3x) + tan(2x) mendekati 0 + 0 = 0.
Penyebut: sin(x) mendekati sin(pi/2) = 1.

Jadi, limitnya adalah 0/1 = 0.

Tidak perlu menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya bukan tak tentu setelah evaluasi.

Nilai limitnya adalah 0.