Nilai dari tan 165= ...

-2 + √3

Pembahasan

Untuk mencari nilai tan 165, kita dapat menggunakan identitas trigonometri. Sudut 165 derajat dapat dipecah menjadi jumlah atau selisih dua sudut yang nilainya sudah diketahui, misalnya 120 + 45 atau 135 + 30.
Mari kita gunakan tan(A + B) = (tan A + tan B) / (1 - tan A tan B).
Kita bisa tulis 165 = 120 + 45.
tan 165 = tan (120 + 45)
tan 165 = (tan 120 + tan 45) / (1 - tan 120 * tan 45)
Kita tahu:
tan 120 = tan (180 - 60) = -tan 60 = -√3
tan 45 = 1
Maka:
tan 165 = (-√3 + 1) / (1 - (-√3) * 1)
tan 165 = (1 - √3) / (1 + √3)
Untuk merasionalkan penyebutnya, kita kalikan dengan konjugatnya (1 - √3):
tan 165 = [(1 - √3) * (1 - √3)] / [(1 + √3) * (1 - √3)]
tan 165 = (1 - 2√3 + 3) / (1 - 3)
tan 165 = (4 - 2√3) / (-2)
tan 165 = -2 + √3

Alternatif lain menggunakan 165 = 180 - 15, namun nilai tan 15 tidak langsung diketahui tanpa perhitungan lebih lanjut.
Jika kita gunakan 165 = 135 + 30:
tan 165 = tan (135 + 30)
tan 165 = (tan 135 + tan 30) / (1 - tan 135 * tan 30)
Kita tahu:
tan 135 = tan (180 - 45) = -tan 45 = -1
tan 30 = 1/√3 = √3/3
Maka:
tan 165 = (-1 + √3/3) / (1 - (-1) * √3/3)
tan 165 = (-1 + √3/3) / (1 + √3/3)
Kalikan pembilang dan penyebut dengan 3:
tan 165 = (-3 + √3) / (3 + √3)
Kalikan dengan konjugat penyebut (3 - √3):
tan 165 = [(-3 + √3) * (3 - √3)] / [(3 + √3) * (3 - √3)]
tan 165 = (-9 + 3√3 + 3√3 - 3) / (9 - 3)
tan 165 = (-12 + 6√3) / 6
tan 165 = -2 + √3