Nilai integral 0 pi sin 2x cos x dx= ...

4/3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan integral dari $\int_{0}^{\pi} \sin(2x) \cos(x) dx$, kita dapat menggunakan identitas trigonometri $\sin(2x) = 2 \sin(x) \cos(x)$.
Sehingga integralnya menjadi $\int_{0}^{\pi} (2 \sin(x) \cos(x)) \cos(x) dx = \int_{0}^{\pi} 2 \sin(x) \cos^2(x) dx$.
Menggunakan substitusi $u = \cos(x)$, maka $du = -\sin(x) dx$. Batas integral juga berubah: ketika $x=0$, $u=\cos(0)=1$; ketika $x=\pi$, $u=\cos(\pi)=-1$.
Integral menjadi $\int_{1}^{-1} 2 u^2 (-du) = \int_{-1}^{1} 2 u^2 du = 2 \left[ \frac{u^3}{3} \right]_{-1}^{1} = 2 \left( \frac{1^3}{3} - \frac{(-1)^3}{3} \right) = 2 \left( \frac{1}{3} - (-\frac{1}{3}) \right) = 2 \left( \frac{1}{3} + \frac{1}{3} \right) = 2 \left( \frac{2}{3} \right) = \frac{4}{3}$.