Nilai k yang memenuhi pertidaksmaan 0 <

0 < k < 2

Pembahasan

Untuk mencari nilai k yang memenuhi pertidaksamaan 0 < (x^2+kx+1)/(x^2+x+1) < 2, kita perlu memecahkannya menjadi dua pertidaksamaan:
1) (x^2+kx+1)/(x^2+x+1) > 0
2) (x^2+kx+1)/(x^2+x+1) < 2

Pertama, kita analisis penyebutnya, x^2+x+1. Diskriminannya adalah D = b^2 - 4ac = 1^2 - 4(1)(1) = 1 - 4 = -3. Karena diskriminan negatif dan koefisien x^2 positif (yaitu 1), maka x^2+x+1 selalu positif untuk semua nilai x real.

Sekarang kita bisa menyederhanakan pertidaksamaan:

Untuk pertidaksamaan 1: (x^2+kx+1)/(x^2+x+1) > 0
Karena penyebut selalu positif, maka agar hasil bagi positif, pembilangnya harus positif: x^2+kx+1 > 0. Agar kuadratik ini selalu positif, diskriminannya harus negatif: D < 0. 
D = k^2 - 4(1)(1) < 0
k^2 - 4 < 0
(k-2)(k+2) < 0
Ini terpenuhi ketika -2 < k < 2.

Untuk pertidaksamaan 2: (x^2+kx+1)/(x^2+x+1) < 2
Karena penyebut selalu positif, kita bisa mengalikan kedua sisi dengan penyebut:
x^2+kx+1 < 2(x^2+x+1)
x^2+kx+1 < 2x^2+2x+2
Pindahkan semua suku ke satu sisi untuk membentuk pertidaksamaan kuadratik:
0 < 2x^2 - x^2 + 2x - kx + 2 - 1
0 < x^2 + (2-k)x + 1
Agar pertidaksamaan ini selalu benar untuk semua x, diskriminan dari kuadratik x^2 + (2-k)x + 1 harus negatif (karena koefisien x^2 adalah positif).
D = (2-k)^2 - 4(1)(1) < 0
(2-k)^2 - 4 < 0
(2-k-2)(2-k+2) < 0
(-k)(4-k) < 0
-4k + k^2 < 0
k^2 - 4k < 0
k(k-4) < 0
Ini terpenuhi ketika 0 < k < 4.

Agar kedua pertidaksamaan terpenuhi, kita perlu mencari irisan dari kedua kondisi k:
Kondisi 1: -2 < k < 2
Kondisi 2: 0 < k < 4
Irisannya adalah 0 < k < 2.

Jadi, nilai k yang memenuhi pertidaksamaan adalah 0 < k < 2.