Nilai lim x->0 (1-cos 4x)/(x^2)= ...

8

Pembahasan

Untuk menyelesaikan \lim_{x\to0} \frac{1-\cos 4x}{x^2}, kita bisa menggunakan identitas trigonometri atau aturan L'Hopital. Menggunakan identitas: Kita tahu bahwa 1 - \cos(2\theta) = 2\sin^2(\theta). Jika kita misalkan 4x = 2\theta, maka \theta = 2x. Sehingga, 1 - \cos 4x = 2\sin^2(2x). Maka, \lim_{x\to0} \frac{2\sin^2(2x)}{x^2}. Kita bisa menulis ulang ini sebagai 2 * \lim_{x\to0} (\frac{\sin 2x}{x}) * (\frac{\sin 2x}{x}). Kita tahu bahwa \lim_{y\to0} \frac{\sin y}{y} = 1. Untuk mendapatkan bentuk ini, kita kalikan dan bagi dengan 2 di dalam kurung: 2 * \lim_{x\to0} (\frac{\sin 2x}{2x} * 2) * (\frac{\sin 2x}{2x} * 2). Maka, 2 * 1 * 2 * 1 * 2 = 8. Menggunakan aturan L'Hopital: Karena substitusi langsung x=0 menghasilkan bentuk tak tentu 0/0, kita bisa menurunkan pembilang dan penyebut secara terpisah. Turunan dari (1 - cos 4x) adalah -(-\sin 4x) * 4 = 4\sin 4x. Turunan dari x^2 adalah 2x. Jadi, \lim_{x\to0} \frac{4\sin 4x}{2x} = \lim_{x\to0} \frac{2\sin 4x}{x}. Substitusi x=0 masih menghasilkan 0/0, jadi kita gunakan L'Hopital lagi. Turunan dari 4\sin 4x adalah 4(\cos 4x) * 4 = 16\cos 4x. Turunan dari 2x adalah 2. Maka, \lim_{x\to0} \frac{16\cos 4x}{2} = \frac{16\cos 0}{2} = \frac{16*1}{2} = 8. Jadi, nilai limitnya adalah 8.