Nilai lim _(x -> 0) (((4 x)/(5))^(3))/(tan 6 x(1-cos ^(2)

2/15

Pembahasan

Untuk menyelesaikan soal limit ini, kita perlu menyederhanakan ekspresi menggunakan sifat-sifat limit dan identitas trigonometri.

Limit yang diberikan adalah: lim (x->0) [((4x)/5)]^3 / (tan(6x)(1-cos^2(4x/5)))

Kita tahu bahwa 1 - cos^2(A) = sin^2(A). Jadi, 1 - cos^2(4x/5) = sin^2(4x/5).
Ekspresi menjadi: lim (x->0) [((4x)/5)]^3 / (tan(6x)sin^2(4x/5))

Kita juga tahu bahwa lim (A->0) sin(A)/A = 1 dan lim (A->0) tan(A)/A = 1.
Mari kita manipulasi ekspresi agar sesuai dengan bentuk ini:

[((4x)/5)]^3 = (64x^3)/125

Ekspresi menjadi: lim (x->0) [(64x^3)/125] / (tan(6x)sin^2(4x/5))

Kita bisa menulis ulang penyebutnya:
tan(6x)sin^2(4x/5) = (tan(6x) / (6x)) * (6x) * (sin(4x/5) / (4x/5))^2 * ((4x/5))^2

= (tan(6x) / (6x)) * (sin(4x/5) / (4x/5))^2 * (6x) * (16x^2/25)

Sekarang masukkan kembali ke limit:
lim (x->0) [(64x^3)/125] / [(tan(6x) / (6x)) * (sin(4x/5) / (4x/5))^2 * (6x) * (16x^2/25)]

Kita bisa membatalkan x^3 di pembilang dan penyebut:
lim (x->0) [64/125] / [(1) * (1)^2 * (6) * (16/25)]

= [64/125] / [6 * 16/25]

= [64/125] / [96/25]

= (64/125) * (25/96)

= (64 * 25) / (125 * 96)

= (64 * 1) / (5 * 96)

= 64 / 480

Sederhanakan pecahan: bagi pembilang dan penyebut dengan 64.
64 / 64 = 1
480 / 64 = 7.5

Ini berarti ada kesalahan dalam perhitungan. Mari kita periksa kembali.

lim (x->0) [((4x)/5)]^3 / (tan(6x)(1-cos^2(4x/5)))
= lim (x->0) [64x^3/125] / (tan(6x)sin^2(4x/5))

Kita pisahkan menjadi beberapa limit:
= lim (x->0) (64x^3/125) * (1/tan(6x)) * (1/sin^2(4x/5))

= (64/125) * lim (x->0) x^3 * (1/tan(6x)) * (1/sin^2(4x/5))

= (64/125) * lim (x->0) x^3 * (cos(6x)/sin(6x)) * (1/sin^2(4x/5))

Untuk menggunakan limit standar, kita perlu mengalikan dan membagi dengan suku yang sesuai:

lim (x->0) (x^3 / (tan(6x) * sin^2(4x/5)))
= lim (x->0) (x^3 / ((sin(6x)/6x) * 6x * (sin(4x/5)/(4x/5))^2 * (4x/5)^2))

= lim (x->0) (x^3 / (1 * 6x * 1^2 * (16x^2/25)))

= lim (x->0) (x^3 / (96x^3/25))

= lim (x->0) (x^3 * 25 / (96x^3))

= 25/96

Sekarang kalikan dengan konstanta di depan:
(64/125) * (25/96)

= (64 * 25) / (125 * 96)

= (64 * 1) / (5 * 96)

= 64 / 480

Sederhanakan 64/480.
Bagi keduanya dengan 16: 4/30.
Bagi keduanya dengan 2: 2/15.

Jadi, nilai limitnya adalah 2/15.