Nilai lim _(x -> 0) (6 sin ^(2)((x)/(3)))/(x sin x)=..

2/3

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar dengan sifat-sifat fungsi trigonometri.

Metode 1: Aturan L'Hopital
Limit ini memiliki bentuk tak tentu 0/0 ketika x mendekati 0.
Kita turunkan pembilang dan penyebutnya:
d/dx (6 sin^2(x/3)) = 6 * 2 sin(x/3) * cos(x/3) * (1/3) = 4 sin(x/3) cos(x/3) = 2 sin(2x/3)
d/dx (x sin x) = 1*sin x + x*cos x = sin x + x cos x

Maka limitnya menjadi: lim (x->0) (2 sin(2x/3)) / (sin x + x cos x)
Masih berbentuk 0/0, kita gunakan L'Hopital lagi:
d/dx (2 sin(2x/3)) = 2 * cos(2x/3) * (2/3) = (4/3) cos(2x/3)
d/dx (sin x + x cos x) = cos x + (1*cos x + x*(-sin x)) = cos x + cos x - x sin x = 2 cos x - x sin x

Maka limitnya menjadi: lim (x->0) ((4/3) cos(2x/3)) / (2 cos x - x sin x)
Substitusikan x = 0:
((4/3) cos(0)) / (2 cos 0 - 0*sin 0) = ((4/3) * 1) / (2 * 1 - 0) = (4/3) / 2 = 4/6 = 2/3.

Metode 2: Manipulasi Aljabar
lim (x->0) (6 sin^2(x/3)) / (x sin x)
Kita tahu bahwa lim (x->0) sin(ax)/(ax) = 1.
Kita ubah bentuknya:
= lim (x->0) 6 * [sin(x/3) / (x/3)]^2 * (x/3)^2 / (x * sin x)
= lim (x->0) 6 * [sin(x/3) / (x/3)]^2 * (x^2/9) / (x * sin x)
= lim (x->0) 6 * 1^2 * (x^2/9) / (x * sin x)
= lim (x->0) (6x^2 / 9) / (x sin x)
= lim (x->0) (2x^2 / 3) / (x sin x)
= lim (x->0) (2x / 3) * (x / sin x)
Kita tahu bahwa lim (x->0) x/sin x = 1.
= (2*0 / 3) * 1 = 0 * 1 = 0.

Ada kesalahan dalam perhitungan Metode 2. Mari kita perbaiki.
lim (x->0) (6 sin^2(x/3)) / (x sin x)
= lim (x->0) 6 * (sin(x/3))^2 / (x * sin x)
= lim (x->0) 6 * (sin(x/3) / (x/3) * (x/3))^2 / (x * sin x)
= lim (x->0) 6 * (sin(x/3) / (x/3))^2 * (x^2/9) / (x * sin x)
= lim (x->0) 6 * 1^2 * (x^2/9) / (x * sin x)
= lim (x->0) (6x^2 / 9) / (x * sin x)
= lim (x->0) (2x^2 / 3) / (x * sin x)
Kita bisa membagi pembilang dan penyebut dengan x:
= lim (x->0) (2x / 3) / (sin x / x)
= lim (x->0) (2x / 3) / (sin x / x)
Kita tahu bahwa lim (x->0) sin(x)/x = 1.
= (2*0 / 3) / 1 = 0 / 1 = 0.

Masih ada kesalahan. Mari kita coba lagi manipulasi aljabar dengan lebih hati-hati.
lim (x->0) (6 sin^2(x/3)) / (x sin x)
Kita gunakan sifat lim (u->0) sin(u)/u = 1.
Kita ingin membentuk sin(x/3) / (x/3) dan sin(x) / x.
= lim (x->0) 6 * [sin(x/3)]^2 / (x * sin x)
Kalikan pembilang dan penyebut dengan (x/3)^2 dan (x)^2 agar sesuai dengan limit yang diketahui:
= lim (x->0) 6 * [sin(x/3) / (x/3)]^2 * (x/3)^2 / (x * [sin(x) / x] * x)
= lim (x->0) 6 * 1^2 * (x^2/9) / (x * 1 * x)
= lim (x->0) 6 * (x^2/9) / x^2
= lim (x->0) (6x^2 / 9) / x^2
= lim (x->0) (2x^2 / 3) / x^2
= lim (x->0) 2/3
= 2/3.

Jadi, nilai limitnya adalah 2/3.