Nilai lim x->1 (x^10-1)/(x-1)=...

Nilai limitnya adalah 10.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to 1} \frac{x^{10}-1}{x-1}$, kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena bentuknya adalah 0/0 ketika x=1.

Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika $\lim_{x \to c} \frac{f(x)}{g(x)}$ menghasilkan bentuk tak tentu (0/0 atau ∞/∞), maka limit tersebut sama dengan $\lim_{x \to c} \frac{f'(x)}{g'(x)}$, asalkan limit yang terakhir ada.

Dalam kasus ini, f(x) = x¹⁰ - 1 dan g(x) = x - 1.
Turunan f(x) adalah f'(x) = 10x⁹.
Turunan g(x) adalah g'(x) = 1.

Menggunakan aturan L'Hopital:
$\lim_{x \to 1} \frac{x^{10}-1}{x-1} = \lim_{x \to 1} \frac{10x^9}{1}$

Sekarang, substitusikan x = 1 ke dalam persamaan:
= 10(1)⁹ / 1
= 10 * 1 / 1
= 10

Cara lain adalah dengan mengenali bentuk ini sebagai definisi turunan. Jika kita definisikan $f(x) = x^{10}$, maka $f'(x) = 10x^9$. Definisi turunan di x=1 adalah $\lim_{x \to 1} \frac{f(x) - f(1)}{x-1}$. Di sini, f(1) = 1¹⁰ = 1. Jadi, $\lim_{x \to 1} \frac{x^{10}-1}{x-1}$ adalah turunan dari $x^{10}$ di x=1, yaitu $10(1)^9 = 10$.

Nilai lim x->1 (x^10-1)/(x-1) adalah 10.