Nilai lim x->phi/2 ((4(x-phi)cos^2x)/(phi(phi-2x) tan

Nilai limit adalah 1.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit ini, kita bisa menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x = π/2, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0.
Limit = lim x->π/2 ((4(x-π)cos²x)/(π(π-2x) tan (x-π/2)))
Kita perlu mencari turunan dari pembilang dan penyebut.
Turunan pembilang (4(x-π)cos²x):
Misalkan u = 4(x-π) dan v = cos²x.
Maka u' = 4 dan v' = 2 cos x (-sin x) = -2 sin x cos x = -sin 2x.
Turunan pembilang = u'v + uv' = 4 cos²x + 4(x-π)(-sin 2x)
Turunan penyebut (π(π-2x) tan (x-π/2)):
Misalkan p = π(π-2x) dan q = tan (x-π/2).
Maka p' = -2π dan q' = sec²(x-π/2) * 1 = sec²(x-π/2).
Turunan penyebut = p'q + pq' = -2π tan (x-π/2) + π(π-2x) sec²(x-π/2).
Sekarang kita substitusikan x = π/2 ke dalam turunan pembilang dan penyebut.
Limit pembilang = 4 cos²(π/2) + 4(π/2 - π)(-sin(2 * π/2)) = 4(0)² + 4(-π/2)(-sin π) = 0 + 0 = 0.
Limit penyebut = -2π tan (π/2 - π/2) + π(π - 2(π/2)) sec²(π/2 - π/2) = -2π tan(0) + π(0) sec²(0) = -2π(0) + 0(1)² = 0.
Karena masih bentuk 0/0, kita gunakan L'Hopital lagi.
Turunan kedua pembilang: d/dx [4 cos²x - 4(x-π)sin 2x]
Turunan 4 cos²x = 2 cos x (-sin x) * 2 = -4 sin x cos x = -2 sin 2x
Turunan -4(x-π)sin 2x: Misalkan w = -4(x-π) dan z = sin 2x. Maka w' = -4 dan z' = 2 cos 2x.
Turunan -4(x-π)sin 2x = w'z + wz' = -4 sin 2x + (-4(x-π))(2 cos 2x) = -4 sin 2x - 8(x-π) cos 2x.
Jadi, turunan kedua pembilang = -2 sin 2x - 4 sin 2x - 8(x-π) cos 2x = -6 sin 2x - 8(x-π) cos 2x.
Substitusikan x = π/2: -6 sin(π) - 8(π/2 - π) cos(π) = -6(0) - 8(-π/2)(-1) = 0 - 4π = -4π.
Turunan kedua penyebut: d/dx [-2π tan (x-π/2) + π(π-2x) sec²(x-π/2)]
Turunan -2π tan(x-π/2) = -2π sec²(x-π/2) * 1 = -2π sec²(x-π/2)
Turunan π(π-2x) sec²(x-π/2): Misalkan a = π(π-2x) dan b = sec²(x-π/2). Maka a' = -2π dan b' = 2 sec(x-π/2) * sec(x-π/2) tan(x-π/2) * 1 = 2 sec²(x-π/2) tan(x-π/2).
Turunan π(π-2x) sec²(x-π/2) = a'b + ab' = -2π sec²(x-π/2) + π(π-2x) [2 sec²(x-π/2) tan(x-π/2)].
Jadi, turunan kedua penyebut = -2π sec²(x-π/2) - 2π sec²(x-π/2) + 2π² sec²(x-π/2) tan(x-π/2) = -4π sec²(x-π/2) + 2π² sec²(x-π/2) tan(x-π/2).
Substitusikan x = π/2: -4π sec²(0) + 2π² sec²(0) tan(0) = -4π (1)² + 2π² (1)² (0) = -4π.
Nilai limit = (Turunan kedua pembilang) / (Turunan kedua penyebut) = -4π / -4π = 1.