Nilai limit x->3 (sin(2x-6))/(x^2-9)=...

Nilai limitnya adalah 1/3.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x\to 3} \frac{\sin(2x-6)}{x^2-9}$, kita dapat melakukan substitusi langsung. Namun, jika kita substitusi $x=3$, kita mendapatkan $\frac{\sin(2(3)-6)}{3^2-9} = \frac{\sin(0)}{9-9} = \frac{0}{0}$, yang merupakan bentuk tak tentu. Oleh karena itu, kita perlu menggunakan metode lain, seperti aturan L'Hopital atau manipulasi aljabar.

Menggunakan Aturan L'Hopital:
Turunkan pembilang dan penyebut secara terpisah terhadap x:
Turunan pembilang: $\frac{d}{dx}(\sin(2x-6)) = \cos(2x-6) \cdot 2 = 2\cos(2x-6)$.
Turunan penyebut: $\frac{d}{dx}(x^2-9) = 2x$.
Sekarang, hitung limit dari hasil turunan:
$\lim_{x\to 3} \frac{2\cos(2x-6)}{2x} = \frac{2\cos(2(3)-6)}{2(3)} = \frac{2\cos(0)}{6} = \frac{2 \cdot 1}{6} = \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Menggunakan Manipulasi Aljabar:
Kita tahu bahwa $\lim_{\theta\to 0} \frac{\sin \theta}{\theta} = 1$.
Kita bisa memanipulasi ekspresi agar sesuai dengan bentuk ini.
$\\lim_{x\to 3} \frac{\sin(2x-6)}{x^2-9} = \lim_{x\to 3} \frac{\sin(2x-6)}{(x-3)(x+3)}$.
Kalikan pembilang dan penyebut dengan 2:
$= \lim_{x\to 3} \frac{2 \sin(2x-6)}{2(x-3)(x+3)} = \lim_{x\to 3} \frac{\sin(2x-6)}{2x-6} \cdot \frac{2}{x+3}$.
Misalkan $y = 2x-6$. Ketika $x \to 3$, maka $y \to 2(3)-6 = 0$. Jadi, $\lim_{x\to 3} \frac{\sin(2x-6)}{2x-6} = \lim_{y\to 0} \frac{\sin y}{y} = 1$.
Sekarang, substitusikan kembali ke ekspresi limit:
$= 1 \cdot \lim_{x\to 3} \frac{2}{x+3} = 1 \cdot \frac{2}{3+3} = 1 \cdot \frac{2}{6} = \frac{1}{3}$.

Jadi, nilai limitnya adalah 1/3.