Nilai limit x mendekati pi/6 (sin x tan(2x-pi)/(2pi-4x)

Nilai limitnya adalah $-\frac{1}{12}$.

Pembahasan

Untuk menyelesaikan limit $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin x \tan(2x - \frac{\pi}{3})}{2\pi - 12x}$, kita substitusikan $x = \frac{\pi}{6}$ ke dalam fungsi tersebut.

Bagian pembilang:
$\sin(\frac{\pi}{6}) = \frac{1}{2}$
$\tan(2(\frac{\pi}{6}) - \frac{\pi}{3}) = \tan(\frac{\pi}{3} - \frac{\pi}{3}) = \tan(0) = 0$
Jadi, pembilang bernilai $\frac{1}{2} \times 0 = 0$.

Bagian penyebut:
$2\pi - 12(\frac{\pi}{6}) = 2\pi - 2\pi = 0$

Karena kita mendapatkan bentuk tak tentu $\frac{0}{0}$, kita bisa menggunakan aturan L'Hôpital atau manipulasi aljabar.

Menggunakan Aturan L'Hôpital:
Kita turunkan pembilang dan penyebut terhadap x.
Turunan pembilang: $\frac{d}{dx}(\sin x \tan(2x - \frac{\pi}{3}))$
Menggunakan aturan perkalian: $(\cos x)(\tan(2x - \frac{\pi}{3})) + (\sin x)(\sec^2(2x - \frac{\pi}{3}) 	imes 2)$

Turunan penyebut: $\frac{d}{dx}(2\pi - 12x) = -12$

Sekarang, substitusikan $x = \frac{\pi}{6}$ ke dalam turunan:
Pembilang turunan:
$(\cos \frac{\pi}{6})(\tan(2(\frac{\pi}{6}) - \frac{\pi}{3})) + (\sin \frac{\pi}{6})(\sec^2(2(\frac{\pi}{6}) - \frac{\pi}{3}) 	imes 2)$
$= (\frac{\sqrt{3}}{2})(\tan(0)) + (\frac{1}{2})(\sec^2(0) 	imes 2)$
$= (\frac{\sqrt{3}}{2})(0) + (\frac{1}{2})(1^2 	imes 2)$
$= 0 + (\frac{1}{2})(2)$
$= 1$

Penyebut turunan: -12

Jadi, nilai limitnya adalah $\frac{1}{-12} = -\frac{1}{12}$.

Alternatif menggunakan manipulasi aljabar:
Perhatikan penyebut: $2\pi - 12x = -12(x - \frac{\pi}{6})$.
Kita tahu bahwa $\lim_{u \to 0} \frac{\tan u}{u} = 1$.
Kita juga perlu membuat argumen tan menjadi penyebut.
Limitnya menjadi: $\lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin x \tan(2x - \frac{\pi}{3})}{-12(x - \frac{\pi}{6})}$
Kita bisa memisahkan konstanta: $-\frac{1}{12} \lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\sin x \tan(2x - \frac{\pi}{3})}{x - \frac{\pi}{6}}$
Untuk bagian tan, kita perlu $2x - \frac{\pi}{3}$ di penyebut. Mari kita manipulasi:
$-\frac{1}{12} \lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \sin x \times \lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \frac{\tan(2x - \frac{\pi}{3})}{x - \frac{\pi}{6}}$
Misalkan $u = 2x - \frac{\pi}{3}$. Ketika $x \to \frac{\pi}{6}$, maka $u \to 0$. Dan $x - \frac{\pi}{6} = \frac{u}{2}$.
$-\frac{1}{12} \lim_{x \to \frac{\pi}{6}} \sin x \times \lim_{u \to 0} \frac{\tan u}{\frac{u}{2}}$
$-\frac{1}{12} \times \sin(\frac{\pi}{6}) \times \lim_{u \to 0} 2 \frac{\tan u}{u}$
$-\frac{1}{12} \times \frac{1}{2} \times 2 \times 1$
$-\frac{1}{12}$

Jadi, nilai limitnya adalah $-\frac{1}{12}$.