Nilai limit x -> pi (x^2 sin 2x)/(x-pi) adalah ....

2π²

Pembahasan

Untuk mengevaluasi limit x -> pi (x^2 sin 2x)/(x-pi), kita dapat menggunakan aturan L'Hopital karena jika kita substitusikan x = pi, kita akan mendapatkan bentuk tak tentu 0/0. Aturan L'Hopital menyatakan bahwa jika limit suatu fungsi menghasilkan bentuk tak tentu, kita dapat mengambil turunan dari pembilang dan penyebut secara terpisah, lalu mengevaluasi limitnya. Turunan dari pembilang (x^2 sin 2x) adalah (2x)(sin 2x) + (x^2)(2 cos 2x) = 2x sin 2x + 2x^2 cos 2x. Turunan dari penyebut (x - pi) adalah 1. Sekarang kita evaluasi limit dari turunan tersebut saat x -> pi: limit x -> pi (2x sin 2x + 2x^2 cos 2x) / 1. Substitusikan x = pi: (2*pi*sin(2*pi) + 2*pi^2*cos(2*pi)) / 1. Kita tahu bahwa sin(2*pi) = 0 dan cos(2*pi) = 1. Maka, (2*pi*0 + 2*pi^2*1) / 1 = 0 + 2*pi^2 = 2*pi^2.